一文讲透平面点阵、点群，平面墙纸群只有17种

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前文我们浏览了平面密铺艺术背后的科学胜景。平面密铺艺术乃是数学与美学相互交融的绚烂瑰宝，其演进历程悠悠数千年，见证了人类对于几何秩序以及视觉美感的不懈追寻。从原始文明时期的实用铺砖，至现代科技范畴的精密算法，密铺艺术始终于规则和创新之中探寻平衡之态，进而化作连接科学与艺术的桥梁。

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印度泰姬陵 – 莫卧儿皇帝为爱妃建造的巨大纪念碑

而周期性密铺的核心是对称性，特别是要想顺利理解为何只有3种六边形单密铺、为何直到2015年才找出15种五边形单密铺然后到2017年才证明已找全，对称性的研究和一些结论是必不可少的基础。为了不虚此行地游览对称性知识王国的一些胜景地标，本文聚焦于讲透平面点阵、点群与墙纸群的著名公式：5种平面点阵+10种平面点群=17种平面群（即墙纸群）。

一、两种类型的对称

对称的概念并不复杂，但却深刻联系着现实世界。秦汉时“十里一长亭，五里一短亭”是后世成语“十里长亭”的来源，国家制度在公共道路上主动追求等距设置相同功能的休憩设施，反映的是平移周期性的应用。

长亭是中国古代的一种公共休憩设施

1.1.点对称vs空间对称

简单说，对称就是一些可以从局部认知全局、具有特殊结构的重复模式。一类是具有不动点的对称，包括旋转和反射两种基础对称；另一类是不具有不动点的对称，即平移对称，也称为空间对称，但不是说三维空间，而是说这种对称不能在一不动点周围表现，而必须展开、利用一定空间来展示她自己。

彭罗斯阶梯——每一步都朝上却走回到原处

1.2.微观对称vs宏观对称

这两类对称正好有另外一对更“对称”的名称：宏观对称和微观对称。我曾不假思索地以为点对称就是微观对称，而空间对称就是宏观对称，实际上这样恰恰是弄反了。因为这一对称呼来自于三维晶体的研究，点对称通过周期性表现在各类晶体宝石（如钻石、水晶、祖母绿等）的规则外表面，肉眼可观察研究，因此称为宏观对称性。而平移对称性对自由生长的晶体外形没有影响，而是影响周期性单元的内在排列与结构，它们只能通过X射线衍射方法检测到，因此得名“微观对称性”。

晶体X射线衍射图

望文生义地看，点对称是宏观对称性，而空间对称是微观对称性，这还真有些费解。但奇妙之处正在于此。点对称是如何决定宏观可见？而空间对称又有着怎样的细枝末节？本文带您一探究竟。

二、周期性平面密铺中的对称元素

下面我们聚焦于周期性密铺中的对称。这样就排除了比如7次旋转对称等。实际上从基本对称元素来看，相比于不限制周期性时可能的对称种类来说，周期性密铺中的对称所剩无几，只有6种。

2.1.镜像对称

镜像对称即反射对称，平面上也常称作轴对称。镜像对称是无法在相应物体上实际操作完成的，但是神奇的人类通过照镜子在幼小的时候就能够理解，相比之下猫狗乃至猴子等看起来“高”智商的动物不太容易理解镜像（猴子捞月的故事）。镜像对称的作用在表述上也称其为虚操作，这是相比于平移、旋转这两类可以实际操作完成的对称来说的。

镜像迷宫

镜像对称简记为m（“镜子”的英文mirror一词的首字母）。镜像是光线反射的虚像，因此有反射对称的说法。在平面上，所谓的镜面退化为一条线，称其为反射轴，这种对称也叫轴对称，区别于中心对称（即旋转对称）和平移对称。

轴对称的对称元素是一条直线，因此一个具体的轴对称需确定对称轴上两个不同点。

2.2.旋转对称

旋转对称要满足周期性，就只有1,2,3,4,6这五种可能。本来物体或图形绕一点转角度α后跟原本形状重合，α可以取任意角度都是一种旋转对称，但周期性限制下只剩下5种旋转对称有资格参与平面密铺。由于三维乃至更高维空间中的周期性密铺必然包含了平面密铺，因此对二维及以上空间我们都可以说，周期性点阵只存在5种旋转轴。这一点下一节通过直观方式来详细说明。

旋转对称的对称元素是一个带有旋转重数的点，因此一个具体的中心对称需确定中心点的位置和旋转重数。

旋转对称的艺术

2.3.平移对称

平移对称常称为平移周期性，而“对称”这个称呼专门用来指点对称（旋转和反射）；不过“周期性”这个称呼源自昼夜、四季等时间上的重复模式，被扩展到空间上的等距复现模式。因此可以把时间、空间等维度上的平移复现统称为“平移对称”。

前面说了，平移对称被称为微观对称性，这是由晶体这个对象的特性而来。另一方面，类似“十里一长亭”这样的宏观人造物并不“微观”，所以应注意用语的场合和指代条件，以避免误解歧思。在知识王国中迷路，有时比现实中迷路更让人痛苦。

重复的道路景观可能让司机疲劳

上面三种基本对称可以联合在一起，形成复合对称，但多数仍属于某种基本对称。比如平面上关于某直线的反射+关于直线上某点的旋转=通过该点的另一直线上的反射，又如以两个坐标轴为轴的两个反射复合，实际上就是绕原点旋转180°，即二重旋转。只有一种复合产生了新的对称形式，即反射平移。

2.4.反射平移

平面周期性密铺中的反射平移对称是在点对称的反射基础上再沿反射轴平移半个反射轴方向的周期，简称为滑移对称。这种对称在多重旋转对称背景中有时不太容易看出，但幸好平面群中允许的旋转对称只有5种，而且1重和2重旋转比较简单，所以只需稍花些心思弄懂3、4、6重旋转对称与平移的组合即可完全搞懂平面周期性密铺中的所有对称。

脚印是最常见的滑移对称图案

三、二维空间周期性只允许5种旋转对称

运用直观加上一点儿小学二年级数学就可以完全理解和证明：满足二维周期性的旋转对称只有5种。不少大学晶体学课程在提及这一点时，仅证明了格点上有5种旋转对称，就宣称结论得到证明。格点之外的证明是通过格点选取的任意性来说明的，实际上也可以直接证明。我在这里将补足格点以外的情形的直接证明，它稍微困难些、却能直观揭示平面点阵与平面点群是如何组合生成墙纸群的。

3.1.格点上可能的旋转对称

考虑格点上的旋转对称。如下图A1和A2是点阵上的两个相邻格点，其距离即平移周期a。以α=360°/n为基转角绕A1顺时针将A2转至B1，绕A2逆时针将A1转至B2。

证明周期性点阵的格点上只存在5种旋转轴的示意图

易见，因此根据平移周期性，B1与B2的距离应为a的整数倍，设为ma，m为整数。则a+2acos(π-α)=ma，从而cosα=(1-m)/2。于是|(1-m)/2|≤1，解得m=-1，0，+1，+2，+3。对应的旋转对称为：1、2、3、4、6重旋转。

旋转轴次的可能情形

3.2.格点外的旋转对称

考虑旋转中心不在格点上的情况。设旋转中心P最近的两个相邻格点是A1和A2，A1和A2的距离即平面点阵的平移周期，记为a。如果，A1绕P旋转α角度后的点记为A3，A1不同于A3，且，这就不符合“最近的两个相邻格点是A1和A2”的前提了。类似地“大于”时也会违反前提。于是只有这一种可能。下面分成P在A1和A2连线上、P在直线A1A2之外两种情况来考虑。

3.3.相邻格点连线中点处的旋转对称

如下图所示，P在最近的两个格点A1和A2的连线中点处。以α=360°/n为基转角绕P顺时针将A1转至B1，绕P逆时针将A2转至B2。

相邻格点连线中点处的旋转对称

A1A2=a，于是B1B2=2*（PB2*cosα）=a·cosα；同样根据周期性，B1B2长度应为A1A2的整数倍：a·cosα=ma，得到cosα=m，m为整数。解得m=+1、0、-1，对应基转角α=0°（360°）、90°、180°，对应旋转轴次n=1、4、2。

3.4.不在格点、也不在格点连线中点处的旋转对称

如下图所示，P在最近的两个格点A1和A2的中垂线上且在A1A2连线上方；绕P顺时针将A1转至B1，绕P逆时针将A2转至B2，并设PA1与PA2的夹角为2β（<180°）。首先|B1B2|≠|A1A2|，因若不然P在A1B2或A1B1的中点，就不符合前提条件了。

进而|B1B2|<|A1A2|，若不然就会有|B1B2|>|A1A2|，那么B1和B2之间就存在其它格点，这些其他格点位于在以P为圆心，PA1为半径的圆的内部，比A1和A2离P更近，这就不符合P的最近两格点是A1和A2的前提条件了。

再结合周期性要求|B1B2|是|A1A2|的整倍数，只能是0倍，即B1与B2重合，得α=180°-β∈(90°,180°)。进一步考虑β的情况发现β<60°会导致跟P点最近的格点假设相矛盾。因此β≥60°。3β≥180°，于是2β≥α。

绕P逆时针将A1转至C1，绕P顺时针将A2转至C2，则C1C2≠0且|C1C2|≤|A1A2|，进而周期性要求的倍数只能取1，于是α=120°，n=3。

上述4点表明旋转对称在格点上有1、2、3、4、6重；而在格点外只有1、2、3、4重，没有6重情形。

四、二维空间周期性的模式——点阵：只有5类

为什么正好只有五种呢？从平面周期性这个基本条件出发，可以简洁地证明。

平面上只有5种周期性点阵

取两个不共线的最短平移矢量a和b，不妨设|a|≥|b|且∠(a,b)≤90°，进而由最短性知∠(a,b)∈[60°,90°]。对于可能的旋转对称，我们记最小旋转角即基转角为θ，则θ∈[0°,180°]。

先考虑平移对称性，由原点出发的两个最短平移矢量a和b构造一个平行四边形，其对角向量为a+b，进而与反方向的-a、-b得到原点出发的8个矢量如下图所示：a、a+b、b、b-a、-a、-a-b、-b、a-b。

格矢a和b相关的8个矢量

考虑格矢的旋转对称性，以矢量a为参考，基转角θ仅有如下几种可能：

1）θ=∠(a,a+b)：这时a旋转θ后与a+b重合，因此|a|=|a+b|；但∠(a,b)≤90°要求|a|<|a+b|。因此这种情况不成立。

2）θ=∠(a,b)：这时a旋转θ后与b重合，因此|a|=|b|。若θ=∠(a,b)=90°，则构成正方点阵；若θ<90°，则进一步旋转2θ后只剩下与b-a重合一种可能，这时|a|=|b-a|，于是a、b、b-a构成等边三角形，得到θ=60°，即构成六方点阵。

3）θ=∠(a,b-a)：这时a旋转θ后与b-a重合，因此|a|=|b-a|。注意|b|≤|a|（=|b-a|），由大边对大角得到在b和b-a为腰的等腰三角形内，其顶角∠(-a,b-a)≤60°（最小角度≤平均值），进而知θ=180°-∠(-a,b-a)≥120°，这样旋转轴次要取整数就只可能为3，从而θ=120°，回头看∠(-a,b-a)=60°，即正三角形，从而|b|=|a|=|b-a|、实际基转角为∠(a,b)=60°。因此基转角θ=∠(a,b-a)这种情况不成立。

4）θ=∠(a,-a)：即θ=180°。分|a|=|b|和|a|≠|b|两种情况考虑。若|a|=|b|，则∠(a,b)≠90°（否则退化为正方点阵，不满足θ的最小性）且∠(a,b)≠60°（否则退化为六方点阵，不满足θ的最小性）；进而∠(a,b)∈(60°,90°)时，为菱形点阵。最后考虑|a|>|b|的情况，若∠(a,b)=60°，则不满足格矢最短性；若∠(a,b)=90°则为简单矩形点阵；若∠(a,b)∈(60°,90°)时则为斜方点阵。

上面的菱形点阵也可表示为以a和b为半对角线的有心矩形点阵。而斜方点阵格矢最短性和夹角的严谨条件为a>b≥2a cosα, α∈(60°, 90°)。可总结为如下表格。平面点阵也称为二维晶格，这种说法来自三维晶体学。

二维空间共有4大晶系五种晶格类型

五、二维周期性密铺中的点对称群——平面点群：只有10种

10种二维点群又是怎么来的呢？其实这个比点阵更简单些。

点群是固定点处的对称性集合，因此排除平移，只考虑旋转和反射。平面点群分为不含反射的5种和包含反射的5种。

前面第三节专门证明了周期性模式种允许的旋转轴次只有五种：6、4、3、2、1。

不含反射的话，1,2,3,4,6次旋转轴生成5个循环群（Cn，n=1,2,3,4,6）。我们记n次旋转轴转动k个基转角为，而转动n次回到原位等价于不动，记作E。于是可以具体写出来：

而反射与上述5种旋转分别复合得到新的5个群，即大名鼎鼎的二面群，记作Dn，阶数为2n，n=1,2,3,4,6。

以x和y轴为对称轴的反射依次记为，而一三象限平分线（解析式为x-y=0）为对称轴的反射记为，二四象限平分线为对称轴的反射记为，类似地，x轴绕原点旋转30°、60°、120°、150°后直线作为对称轴的反射依次记为，则旋转反射群也可具体写出来：

六、周期性平面完整对称性的种类：只有17种

前面终于凑齐了龙珠（5种点阵和10种点群）！准备召唤平面对称性的终极boss神龙（17种平面群）。召唤术就是点阵与点群的“加法”，当然并非所有人都想掌握神龙召唤术，而更像直接一度神龙风采。我们就先看下17种平面墙纸群吧~

用叶子表示的17种墙纸群图案

历史上是先在1890年确定了三维晶体的空间群有230种，随后在1891年才证明了墙纸（看作二维晶体）的平面群有且仅有17种。做出这两个发现的人都是俄罗斯晶体学家费奥多罗夫（Fedorov）。不过，墙纸群有目前的记号和分类，更得感谢一名匈牙利数学家——乔治·波利亚（George Pólya）；他在没有参考费多洛夫工作的情况下，通过群论方法而独立证明了二维墙纸群的17种分类，并系统整理了这些对称群的符号表示。

国际晶体学联合会的logo

国际晶体学联合会在1952年首次给出墙纸群的国际符号系统（《国际X射线晶体学表格》的一次重要更新）。其中符号系统是基于晶体空间群理论，用特定字母表示晶格类型，数字表示旋转轴次，m表示镜面反射，g表示滑移面。

上面的图中是使用叶子生成的17个墙纸图案，用IUC和轨道符号表示。修饰语h/v表示水平和垂直版本；修饰语A/B表示其他变体；修饰语RT/FT表示需要有内部对称的拼块。

17种墙纸群的对称元素示意图

从上图中也可以验证前面所证明的“格点上有5种旋转（1,2,3,4,6重），而格点连线中点处有3种旋转（1,2,4重），不在格点也不在格点连线中点的旋转有两种（1、3重）”。1重旋转即旋转360°相当于不动，所以一般只标记2、3、4、6重旋转。

七、神龙召唤术——点阵与点群的加法

下面来具体了解下这神秘莫测的召唤术——点阵与点群的加法。其本质上是依循前面所提到的波利亚的群论方法，但借助几何与对称直观理解更佳。这里将两者结合，从而可以更简便地叙述两步过程。第一步采用几何直观，即简单加法（把点群即拼块放入格点）；第二步采用群论方法，列举所有可能的滑移；实际上所有滑移只产生了4种新情况，而其余滑移都不改变点群。

7.1.初级召唤术——简单相加以及无困难选择

这17种墙纸群中，有11种是点阵与点群的简单相加，即直接把拼块（点群）放在点阵的每个格点处，无需任何平移；这11种情况下，拼块的放置方式都是唯一的或者说等效的。

简单斜方（mp）：

简单矩形（op）：

有心矩形（oc，等价于简单菱形rp）：

简单正方（tp）：

简单六方（hp）：

而试着将六方与D3简单相加时，要在点阵的6个方向里间隔着选3个方向来对应D3，正好有2种不等效的情况：

剩下4种是带平移的加法，即在1或2个反射轴方向上带有半个点阵周期的滑移：

7.2.召唤术进阶——对称性相容

点阵是在空间展开绵延的周期性模式，而点群是围绕固定点的对称性。要把它们相加来组合出整个二维平面上周期性密铺的完整对称性表示，就需要相应的点阵与点群能够相加，也就要求它们的对称性要相容；具体来说就是点群元素的对称操作对点阵变换后与原点阵重合。

前面点阵部分已经知道点阵的对称群：斜方点阵的对称群C2、长方点阵的对称群D2（简单长方和有心长方都是）、正方点阵的对称群D4、六方点阵的对称群D6。

相容条件就是：点群若是点阵对称群的子群，则该点群可与相应点阵相加；换言之，能与某个点阵相加的点群只能是该点阵的对称群的子群。这些群的阶数较低，可以注意列举其子群如下：

• 斜方点阵的对称群C2有2个子群：C1、C2
• 简单长方点阵的对称群D2有4个子群：C1、C2、D1、D2
• 有心长方点阵的对称群D2有4个子群：C1、C2、D1、D2
• 正方点阵的对称群D4有10个子群：C1、C2、C4、D1(x,y,x+y,x-y四个方向)、D2(水平竖直反射，对角线反射两组方向)、D4
• 六方点阵的对称群D6有个16子群：C1、C2、C3、C6、D1(6个反射方向)、D2(3组互相垂直的反射轴)、D3(2组120°夹角的反射轴)、D6

这里有个额外的知识点：二面群Dn的子群个数为τ(n)+σ(n)，其中τ(n)表示n的正因子个数，σ(n)表示n的正因子之和。如n=6，有4个正因子（1,2,3,6），1+2+3+6=12，故D6有4+12=16个子群。

于是形式上，点阵与点群的简单相加共有2+4+4+10+16=36种。

但是，C1参与的5个相加结果都是p1；C2参与的5个相加结果都是p2。共有C型简单相加结果2个。

类似地，D1与简单长方、正方的5个相加结果都是pm，而与有心长方、六方的7个相加结果都是cm；D2与简单长方、正方的3个相加结果都是pmm，而与有心长方、六方的4个相加结果都是cmm。共有D型简单相加结果4个。

其余7种简单相加（C3、C4、C6、D3（2组）、D4、D6）都产生了不同的结果。于是简单相加得到共2+4+7=13种平面群。

六方点阵与二面群点群D3的加法

前面已经说过，简单相加在实际操作上就是把表示点群的图案放到点阵的格点上。我们具体看一个简单相加中最复杂的情况：六方与D3简单相加——。前者是把D3的一条反射轴与六方点阵的格矢角平分线重合，而后者是把D3的一条反射轴与六方点阵的格矢重合。

7.3.高阶召唤术——带有滑移

除了36种简单相加得到的13种不含滑移的平面群，还有4种含有滑移的平面群是由点阵与点群带滑移相加得来的。这种加法可以通过将点群先转换为“滑移群”来作为过渡。

具体来说滑移是指平移与反射的复合操作，这里的过渡滑移群中所用滑移是在原来点群中反射的基础上增加沿着反射轴滑移半个点阵周期。该滑移的等价操作是原像和镜像相对于格点沿反射轴背反平移各四分之一周期。这样得到的滑移元素在平面群中阶数仍为2，并且它与其他对称元素的关系直接继承自相应点群。

形式上，所有带有反射的子群都可以带滑移相加：

– 斜方点阵的对称群C2没有D子群

– 简单长方点阵的对称群D2有2个D子群：D1、D2

– 有心长方点阵的对称群D2有2个D子群：D1、D2

– 正方点阵的对称群D4有7个D子群：D1(x,y,x+y,x-y四个方向)、D2(水平竖直反射，对角线反射两组方向)、D4

– 六方点阵的对称群D6有12个D子群：D1(6个反射方向)、D2(3组互相垂直的反射轴)、D3(2组120°夹角的反射轴)、D6

但是，D1与简单长方、正方的5个单滑移相加结果都是pg，D1与有心长方、六方的7个单滑移相加结果都是cm。D1滑移相加共5+7=12种，非平凡结果只有1个。

D2与简单长方、正方的6个单滑移（3组各有x，y两个方向）相加结果都是pmg，而相应的3个双滑移相加结果都是pgg。D2与有心长方、六方的8个单滑移（4组各两个方向）以及4个双滑移相加结果都是cmm。D2滑移相加共6+3+8+4=21种，非平凡结果有2个。

D3与六方点阵的6个单滑移与6个双滑移（p3m1型沿格矢滑移（3单与3双），p31m型沿格矢角平分线滑移（3单与3双））相加结果为pm，而另6个单滑移与6个双滑移（p3m1型沿格矢角平分线滑移，p31m型沿格矢滑移）相加结果为pg。D3滑移相加共6+6+6+6=24种，没有产生新的非平凡结果。

D4与正方点阵的2个单滑移相加（沿x,y方向）结果为pmm，另2个单滑移相加（沿坐标轴夹角平分线两个方向）结果为p4g；D4与正方点阵的1个双滑移（沿坐标轴）相加结果为pmg，另1个双滑移（沿坐标轴夹角平分线）相加结果为p4。故D4滑移相加共2+2+1+1=6种，产生1个新的非平凡结果。

D6和六方点阵的6个单滑移（6个反射轴方向）相加结果为pmg，3个双滑移（3组互相垂直的反射轴）相加结果为pgg。故D6滑移相加3+3=9种，没有产生新的非平凡结果。

于是总计12+21+24+6+9=72种滑移相加，只产生了4种不同于前述13种简单相加的非平凡结果。

因此，由五大点阵和十大点群组成的三十六天罡（简单相加）与七十二地煞（滑移相加）实际产生了17种不同的平面群。

7.4.召唤术终局——移形大法

下面具体给出这4种滑移相加的对称单元和平面群表示，点阵取尽可能简单的：。

先来看最简单的一个滑移相加：

D1与简单长方点阵的滑移相加

然后是

D2与简单长方点阵的单滑移相加

上图中，a）为点群D2的图案表示，b）是水平x轴滑移D2gx，c）是竖直y轴滑移D2gy，d）是简单长方点阵+D2gy=平面群p2mg，e）是简单长方点阵+D2gx=p2gm，f）、g）分别是d）、e）中的红框单元对应的对称元素图示。

由于x和y轴的对称性，g）旋转90度看就等价于f），因此p2mg和p2gm其实是同一个平面墙纸群，简记为pmg。

再来看

D2与简单长方点阵的双滑移相加

最后一个滑移相加是正方点阵与D4点群：

D4与正方点阵的单滑移相加

综上，就完全证明了平面墙纸群有且仅有17种。

从五边形单密铺的百年探索到 17 种墙纸群的数学之美，对称性的奥秘仍在等待更多探索者的脚步。你是否在生活中发现过暗藏的对称密码？

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