「类题通法」3.3：幂函数

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一、作幂函数图象的步骤

第一步：画第一象限的部分。

幂函数在第一象限内的图象以下列三个函数图象为代表：当α<0时，以y＝x-1的图象为代表；当0<α<1时，以y=x1/2的图象为代表；当α>1时，以y=x2的图象为代表。

第二步：求幂函数的定义域，幂函数在第二或第三象限内是否有图象取决于定义域。

第三步：若幂函数图象在y轴左侧存在，则直接研究函数的奇偶性，据此画出y轴左侧的图象。

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二、求幂函数的定义域和值域的方法

幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。

幂函数的定义域由幂指数α确定：

(1)当幂指数取正整数时，定义域为R;

(2)当幂指数取零或负整数时，定义域为（-∞,0)U(0,+∞);

(3)当幂指数取分数时，可以先化成根式，再利用根式的性质求定义域。

三、比较幂的大小的三种常用方法

1，直接法：当幂指数相同时，直接利用幂函数的单调性来比较大小。

2，转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用函数的单调性比较大小。

3，中间量法：当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的。

四、利用幂函数的单调性解不等式的步骤

利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题，求解步骤如下：

(1）确定可以利用的幂函数；

(2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；

(3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用。