动动手，你也能算宇宙的年龄！

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如果有人问你，宇宙存在有多少年了？你该怎样回答呢？

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首先，你应该让他知道，要谈这个话题，必须先承认宇宙是有一个开端的。

现代宇宙学的模型——大爆炸宇宙模型认为，宇宙起源于一次爆炸。当然它的提出是基于若干观测证据的，这些证据包括哈勃定律、宇宙微波背景辐射（CBM）和轻元素的丰度等等。总之，按照这个模型，宇宙的确是有一个开端的。

如果接受了这个宇宙模型，那么接下来，你就可以在这个理论的框架下，去寻找可帮助获取宇宙的年龄的有用信息。

那么，有哪些信息是有用的呢？

1 目标：寻找时间微分

显然，不可能像考古那样，去探测天然放射性碳元素含量，而需要找到那些从宇宙爆炸开始到现在，一直随时间变化的东西。

一个直接的想法是，如果能找到时间对某个量（例如）

并且又知道在宇宙爆炸时的起始值和当前值，那么

问题是，有哪个量可以充当这个量a呢？

诸君想想，有哪些物理量，我们知道它的初始值和现在的值？

最容易想到的是宇宙的平均密度ρ，如果它现在是1，根据宇宙大爆炸，起始时宇宙是一个点，那么它初始值应该是∞。

其次是宇宙的尺寸a，若它现在是1，那么同样的道理，最初时它是0。

所以，只要找到时间与这两个量中的任何一个的微分关系，问题就有答案了！

为了找到这个微分关系，我们从宇宙学的几条基本假设说起。

2 依据：三条假设

第一条假设，宇宙的演化由广义相对论描述。

广义相对论告诉我们，物质能量与时空之间的相互作用关系由爱因斯坦场方程描述，它长下面这个样子

上式左边也常被表示为，叫爱因斯坦张量，描述时空的形状（弯曲情况）；而右边括号里是能量-动量张量，描述物质和能量的分布。读者不需要管这个式子具体是如何推导的，你只需要相信一点——基于它，在满足一些假设的条件下，可推导出时间微分关系。

第二条假设，即宇宙学原理——宇宙在大尺度上是均匀的、各向同性的。

所谓均匀指的是，虽然宇宙在小尺度（例如太阳系尺寸）上，各处密度存在差异，但在大尺度（数量级~十亿光年）上看，宇宙各处的密度是均匀的；各向同性是说，在宇宙中不同的位置观察，在任何方向看到的宇宙都是一样的。

要满足上述要求，宇宙空间不是我们熟悉的那种三维（欧几里得）几何空间，而是一种完全不同的四维时空，在这个空间中，点与点之间的距离与空间的曲率有关，按一种叫做FLRW度规的方法来给出。

FLRW度规？它是什么意思呢？

为了帮助你理解，我们回顾下中学数学中所学的欧几里得空间的距离公式。

在直角坐标系中，欧几里得空间的距离计算公式为

转到球坐标系，如下图所示

则距离的表达式为

与这个距离公式相比，宇宙时空的距离有3个变化。

第一个变化，它引入了时间坐标，两个时间点之间的距离为——注意，这里有一个负号。据此，距离公式右边变为

第二个变化，时空是有曲率的，曲率用表示，它的取值为1、0和-1三种情形，如下图所示。

有了曲率，上式进一步变为

第三个变化，由于宇宙在不断的膨胀，设某时刻，宇宙相对现在的尺寸是，则任意时刻的距离可表示为

这就是FLRW度规！没错，它就是欧几里得空间距离在宇宙时空中的对应者，不叫距离，叫度规。

针对我们的宇宙，其弯曲程度很小，也就是说，我们的宇宙是平坦的，所以取，因此FLRW度规简化为

对于这个东西，你也不需要了解太多，你只需要知道，基于它，上面的爱因斯坦方程可大大简化。

第三条假设，根据ΛCDM模型，宇宙的组份可看作理想流体。

采用理想流体的假设表明，我们可以用能量密度ρ和压强p就足以描述宇宙组份的性质，而不需要其他更加复杂的内部的相互作用。

按照人类目前的了解，宇宙组份可分为如下三种，辐射能量（密度为ρr)、普通物质和暗物质（密度为ρm)、暗能量（密度为ρΛ），因此宇宙物质的总密度是

对于ρm来说，由于三维空间中体积与宇宙尺寸的三次方成反比，设当前宇宙的物质密度为ρm0，则ρm=ρm0a^-3。

对于ρr来说，假设光子数不变，空间尺寸变化，它的个数密度也与尺寸的三次方成反比，但由于多普勒效应，空间放大，电磁辐射红移，频率与宇宙尺寸成反比，则辐射的能量密度与宇宙尺寸的四次方成反比。设当前宇宙的辐射密度为ρr0，则ρr=ρr0a^-4。

对于来说，它代表宇宙常数的贡献，是不变的（这点有点奇怪，但就是这样！）。

故宇宙在任意时刻的平均密度可表示为

好，三条基本假设讲完了，现在来看，它们放在一起会导致什么结果呢？

3 推理：得到时间微分

基于上面假设中的第一条和第二条，经过一番复杂的数学推导（此处从略，你只需相信结果就行了），可得如下等式

到这里，我们要讲一个重要的规律——哈勃定律，它基于天文观测而被发现。

1929年，美国天文学家哈勃（Edwin Hubble，1889~1953）发现，宇宙中的星系都在彼此远离，其速度与星系之间的距离成正比，即哈勃定律，表示为

其中为哈勃常数，它的值随时间而变。根据现代天文观测，当前哈勃常数的值为

既然就是宇宙尺寸，则哈勃定律也可表示为

联合（4）和（5）得

设当前宇宙的物质总密度为ρ0，则

将此式代入（4）式中得

故得时间微分表达式为

再看上面的第三条假设的结论，即（3）式，将其代入（6）得

将根号里分子分母同除以，得如下时间微分式

4

4 结果：积分计算

在上面的（7）式中，ρr0/ρ0、ρm0/ρ0和ρΛ/ρ0分别是当前宇宙中辐射、物质和暗能量的占比，它们分别用Ωr0、Ωm0和ΩΛ表示，它们是可以通过天文观测获取的。

这样一来，（7）式中除了函数a之外，其他都是可观测量，查阅最新天文观测数据可知Ωr0=0、Ωm0=0.315和ΩΛ=0.685。当前哈勃常数H0=67.4km·s^-1·Mpc^-1，根据1Mpc=3.26光年，即（订：单位s应加指数-1）

而的初始值是0，当前值是1，好！终于可以计算了 ！

结果为137.992亿年！

需要说明的是，这个积分比较难搞哈，如果你不想硬算（反正我不会），你可以借助在线计算工具来解决，推荐Wolfram的Mathematica Online，输入如下计算式。

即可得出结果，如下图所示。

据此，我们通过计算得到，宇宙从大爆炸到现在，存在了约138亿年，这就是基于现代宇宙学模型得到的宇宙年龄。

可见，只要你懂一点微积分，关于宇宙年龄这件事，你是完全可以搞懂的。

是不是觉得不可思议？如此神秘而宏大的宇宙，在渺小的地球上渺小的我们面前，竟然轻易就暴露了他的年龄！

正如爱因斯坦说的那句话——“宇宙的最不可理解之处，在于它是可以被理解的”。这是多么值得人类开心的一件事！

参考文献

温伯格(S.Weinberg)，最初三分钟[M]，重庆大学出版社，2015.9
俞允强，物理宇宙学讲义[M]，北京大学出版社，2002.11
https://imagine.gsfc.nasa.gov/science/featured_science/tenyear/age.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Age_of_the_universe

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来源：物含妙理

原标题：为什么说宇宙诞生于138亿年前？

编辑：小咕咕