第3章 §3.3 导数与函数的极值、最值

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考试要求

借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件。

会用导数求函数的极大值、极小值。

会求闭区间上函数的最大值、最小值。

知识梳理

函数的极值

极小值：函数在某点的函数值比附近其他点小，该点导数为 0，且左侧导数小于 0，右侧导数大于 0，此点为极小值点，函数值为极小值。

极大值：函数在某点的函数值比附近其他点大，该点导数为 0，且左侧导数大于 0，右侧导数小于 0，此点为极大值点，函数值为极大值。

极值点和极值：极小值点和极大值点统称极值点，极小值和极大值统称极值。

函数的最大（小）值

有最值的条件：在闭区间上函数图象是连续不断的曲线，则必有最大值和最小值。

求最值的步骤：先求函数在区间内的极值，再将极值与端点处函数值比较，最大的是最大值，最小的是最小值。

常用结论：对于可导函数，导数为 0 是函数在该点有极值的必要不充分条件。

思考辨析

判断函数在区间上是否存在最值、极小值是否一定是最小值、极小值是否一定不是最大值、函数的零点是否是极值点等结论的正误。

教材改编题

根据导函数图象判断极小值点个数。

已知函数有极值求参数的取值范围。

已知函数在区间上的最大值求参数的值。

核心题型

利用导数求函数的极值问题

根据函数图象判断极值：通过分析导函数与原函数的关系，确定函数的极值点及极值类型。

求已知函数的极值：先求导函数，令导函数为 0 求出可能的极值点，再根据导数在极值点两侧的符号判断是极大值还是极小值。

已知极值（点）求参数：根据极值点处导数为 0 和极值的条件列方程组求解参数，注意验证根的合理性。

利用导数求函数最值：先求函数在区间内的极值，再结合区间端点的函数值比较得出最值。若区间含参数，需对函数求导并分类讨论参数，判断函数单调性以确定最值。

课时精练

基础保分练：包括函数极值点之和、根据导函数图象判断函数单调性和极值、已知函数在某点取得极小值求极大值、函数在区间上的最大值等题目。

技能提升练：涉及函数极值点之积已知求极大值、函数在区间上的最值已知求参数、根据函数极大值点判断参数关系、两个函数值相等时求变量差值的最小值等题型。

拓展冲刺练：有多选题目考查函数极值点的范围以及与极值点相关的函数值的正负判断，还有已知函数有两个极值点求不等式恒成立时参数的取值范围等问题。