有趣的数学问题——容斥问题

我是小乐老师，只分享有用的，有趣的容斥让你轻松应对。

容斥问题的关键内容就是两个公式，学生只要能把两个公式灵活掌握，就可以全面应对这类问题，而在教学过程中，让学生学会使用图例解题，将使他们对于此类问题的解题更加直观。

典型例题：某校六(1)班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。代入公式，25+22+24-12-9-8+X=45

解得X=3。

经典例题

对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

解析：

设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52)，则有：

A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)

B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

由集合运算公式可知：

C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C) =148-(100+18+16-12)=26

所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C =52-16-26+12 =22

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

由题意知：（40-x）+x+(36-x)+6+12+4+16=100， 解得 x=14； 则只喜欢看电影的人有 36-x=22。

我是小乐老师，只分享有用的，有趣的容斥让你轻松应对。