取整函数进阶

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取整函数进阶

在阅读本文前，我假设你已经读懂了前面一篇文章《取整函数》，了解上取整函数

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和下取整函数

。因为这一次我们要更深入探讨这两个函数了。

首先，我们来看一个很简单的问题：

So easy。因为

，所以

细心的你一下发现了规律：将35转成二进制为，是个六位数，因此，

。于是我猜想，将一个数n转成二进制数，则其位数就是

。

哇塞，貌似很有道理。我们实验几个数

好吧，我承认刚才头脑发热，烧坏了。

不死心的接着猜。

我发现，刚才的猜测错误只产生在

，并且，下取整函数的规律似乎更好：

用汉字描述就是：对于整数n，需要

位二进制数来表示。

呃，还有一个例外：0。由于0不能用对数定义，于是我祭出数学界最强大的武器。

规定：0是用0位二进制数来表示的。

其实，仔细研究，我们也可以用上取整来描述整数n转换成二进制所需要的位数：

类似地，以3为底，就是三进制的位数，以4为底就是四进制的位数。。。

接下来，我们将从一个难题入手。

显然，

，原因很显然，

是一个整数嘛。

提升一下难度。

？

要证明这个命题正确或许不容易，但要证明它是错误的，我们只要举出一个反例即可。这是数学家常用的手段，而且这个手段非常富有成果，数学家通常在列举反例的时候，会思考为什么这个反例不成立，每一次思考都会产生一个有趣或者有用的结论。数学上称这样的猜想为“能下金蛋的母鸡”。

我们用

（黄金分割）代入检验，都是正确的。

于是，我可以尝试证明它。可能的思路有

1、二项式定理。设

，即整数+小数，然后用二项式定理展开根式

这个公式很容易查到，不解释。（因为我放弃了，太繁琐，如果别的路都行不通，我会再回头考虑这个思路）

2、想办法去掉取整符号。

同样的方法可以证明：

把这个结论推广一下得到：如果函数f(x)是连续的增函数，且满足性质：“

”，则

当然，我也猜想：

很容易举出反例，这个命题不成立。

第三个问题，我们假设有一个赌局。赌局用一个1~1000的转盘产生数n，如果n能被它的立方根下整除尽，则庄家输给我5元，反之我只需要支付1元赌金即可。问题，这样的赌局值得赌一赌吗？

假设赌局里有1000个赌徒，其中胜者x个，负者就有1000-x个，赌徒们赢钱的期望值是

换句话说，如果胜者超过167个，这个赌局就值得参与。

赌局获胜的要求是

整除n。

显然,n=1~7都是赢家，因为此时

=1

从n=8~26中，只有偶数是赢家，因为此时

=2

从n=27~63中，只有3的倍数是赢家，因为此时

=3

……

看出规律了吧，总的赢家数量是172个，计算过程…自己算。

总体来说，这个赌局还是值得参加一下的，虽然赢不了几个铜板。