SU(2)群

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一、SU(2) 群的定义与性质

1. SU(2) 的定义
SU(2)（特殊幺正群，Special Unitary Group of degree 2）是所有满足以下条件的 2×2 复矩阵构成的群：

• 幺正性：U†U=I，即矩阵的逆等于其共轭转置。
• 行列式为1：det⁡(U)=1。

2. SU(2) 的元素形式
SU(2) 的任意元素可参数化为：

其中：

3. 单位元
单位元是单位矩阵

4. 结合律与交换性

• 结合律：矩阵乘法满足结合律，即 (U1U2)U3=U1(U2U3)。
• 非交换性：SU(2) 是非阿贝尔群，即 U1U2≠U2U1（除非特殊情况下）。
• 封闭性：满足。元素相乘也是群元素。

5.SU(2) 的李代数生成元

生成元
SU(2) 的生成元是泡利矩阵的 (σ^a)/2，满足李代数关系：

其中 ϵ^(abc) 是 Levi-Civita 符号（结构常数）。

6.元素之间的转换

参数化转换
SU(2) 元素可用欧拉角、四元数或轴-角表示法参数化。例如，轴-角表示中：

其中 n 是单位矢量，ϕ是旋转角。

伴随表示下的场变换
规范场 Aμ属于 SU(2) 的伴随表示，其变换规则为：

体现了非阿贝尔规范场的自相互作用特性。

群特性：

子群分类

二、普通导数与规范场的引入

1. 普通导数的局限性
在物理场论中，普通导数 ∂μψ 在局域规范变换 ψ→U(x)ψ下不协变,设场 ψ(x) 在局域 SU(2) 变换下的行为为：

普通导数 ∂μψ 的变换为：

由于存在额外的项 (∂μU)ψ，普通导数不满足协变性：

即：

需引入 规范场 Aμ 设计构造协变导数。

协变导数的设计目标

为了抵消 (∂μU)ψ，引入一个精心设计构造的协变导数：

特别构造的协变导数

目标是通过规范场 Aμ的变换规则，使得

协变性

设计构造的协变导数，代入上式：

左边展开：

右边展开：

令左右两边相等，得方程：

移项变换：

对于无穷小变换 U(x)≈I+iθ^a(x)σ^a/2（保留到一阶），代入上式可解得：

协变导数的协变性验证

将变换后的规范场 Aμ代入协变导数：

展开后

利用U(x)的一阶近似展开项和李代数关系抵消交叉项后，最终得到：

即

简而言之：

希望∂μψ → ∂μ(Uψ)= U∂μψ ，但是∂μ(Uψ)=(∂μU)ψ+U∂μψ≠ U∂μψ

设计Dμ（引入规范场Aμ），即可保证： Dμψ→Dμ(Uψ)=UDμψ

1. SU(2) 群：由 2×2 幺正矩阵构成，行列式为1，非阿贝尔。
2. 协变导数：通过引入规范场 Aμ，修正普通导数以保持局域对称性。
3. 规范场变换：非阿贝尔特性导致规范场自身携带相互作用（如 Yang-Mills 场）。
4. 物理意义：SU(2) 规范理论是电弱相互作用的基础，如 Weinberg-Salam 模型中的弱同位旋对称性。所有非物理自由度通过对称性自然抵消。

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