一个栗子说清全概率的计算——《白话高中数学——概率漫谈之九》

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这是《白话高中数学——统计与概率》漫谈第9篇短文。想要白话高中数学全部合集PDF打印版的，私信我就ok！

所谓全概率，是指在一系列条件概率之下的互斥事件概率之和。

详细点说，就是一个概率事件被分割成数个互斥事件，我们要做的就是把这些互斥事件的概率加起来就行，好巧不巧的是，这些互斥事件的发生都是在另一个事件发生的前提条件下完成的，所以，这些被分割成互斥事件的概率都是条件概率。

换成数学语言表示就是，B事件都是在A事件发生的前提下发生的，A事件可以被分割为A1、A2、A2到An个互斥事件，B事件也就被分割到这些互斥事件中，形成了A1B、A2B、A3B、到AnB事件，相应的，B事件的概率就被分割成P(A1B)、P(A2B)、P(A3B)到P(AnB)的概率，而这些概率，我们可以根据条件概率的定义，写成B事件在Ai条件下发生的概率与Ai概率的乘积，我们只需把这些互斥事件的概率相加，就是整个B事件的概率：

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用下面的一个图，可以很好的展示全概率的计算原理：

在A事件发生的前提下，P(B)就是椭圆形区域围成的面积，那它的值就是每一个小区域面积之和。

每一个小区域都是一个互斥事件的概率，都可以看成是B事件在Ai条件下发生的条件概率和Ai概率的乘积：

很明显，B事件全概率的计算有一个前提，那就是A事件可以被完美分割成数个互斥事件，这些互斥事件可以组成一个完备事件组，且任何一个互斥事件的概率P(Ai)>0，从而，B事件的概率也可以顺势被分割成数个互斥事件的概率之和。

接下来我们用一个小栗子来实操一下如何计算条件概率之下的全概率。

例1：某工厂有甲、乙两条生产线，甲线产量占60%，不良率为5%；乙线产量占40%，不良率为8%。求随机抽取一件产品是不良品的概率。

解析：我们把从生产的全部产品中，随机抽取一件产品定义为A事件。

一件产品只能从甲生产线抽取，或者只能从乙生产线抽取，二者是互斥的，且二者构成了A事件的整个样本空间，由此我们可以得到：

B事件是指随机一件产品的不良率，它是由在一件产品在甲生产线上的不良率和在乙生产线的不良率两部分组成：

如果用一个图来表示，更容易理解：

题目中给出的甲生产线的不良率5%是一个条件概率，它是指在甲生产线的前提下产生的不良率，也就是：

同理，乙生产线的不良率8%也是一个条件概率，是指在乙生产线的前提下产生的不良率：

根据条件概率公式：

把这两个结果代入上式，就是随机一样产品的不良率：

有同学会有疑问，觉得甲生产线和乙生产线可以同时生产，是相互独立的，为什么在本题中被定义为互斥事件呢？

首先我们定义的A事件是指从所有产品中抽取一个产品这一结果，并非是指产品生产这个结果。

只抽取一件产品，如果从甲抽取，就不能从乙抽取，反过来也是一样的，所以，A事件就可以被分割为A甲和A乙两个互斥事件。

这个栗子相对简单，是为了理解全概率这个概念而设计的，在实际的生活中，较为复杂的全概率计算大都出现在疾病检测和多阶段分次抽奖的概率计算中，我们下一篇短文继续探讨。