老高讲物理：复数和简谐运动

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今天，老高就给大家讲一讲复数和简谐运动

简谐运动在生活中很常见，也许大家不曾注意。然而，这些数学和物理都是实实在在的东西，简谐运动的公式究竟长什么样子呢，不要着急，就让老高一步一步带大家揭开它的神秘面纱吧。

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我们首先向大家介绍复数的概念：

a是一个复数

那么，我们可以知道a的共轭：

而：

由勾股定理得到的公式

这里用到一个技巧：

幅角

我们把如图的这个角称为幅角。

我们科普爱好者常常谈到欧拉，那么大家知道欧拉方程是什么吗？

大数学家欧拉

它长这个样子：

接下来，我们要通过复数的技巧来分析物理中的共振现象，我们以物体的振动为例，振动所产生的力可以写成这个形式：

式中的F0是力的最大值，因为cos最大不过1

而我们知道：

角度等于角速度乘以时间

这里，聪明的前人对以上的公式做了整合：

联立下式，可以得到

因为物理中没有一个力会是复数，实际的力也没有虚部，只有实部，但是我们要以上式来表述力，这样就成了指数的代数运算，使得运算得以简化。

我们现在用以上所学的复数知识来解一个方程：

这个方程是不是似曾相识呢，对啦，他就是弹簧的简谐运动的方程。

式子k是弹簧的弹性系数，m是质量，x是位移量。

那么，精彩之处来了：

我们假定x和F是真正的复数，尽管这样做有些荒谬，但这仅仅是数学上的目的，这就是说，x有一个实部和一个虚部乘i（注意，实际中位移只有实部，这里是数学技巧）

我们把复数带入上面的微分方程：

Xr表示实位移，Xi表示虚位移，Fr表示实际存在的力，Fi是虚的力。

最终，我们能得到一个精美的复数形式方程：

假设我们要表示一个力，它是余弦波，相位滞后了一个△，我们把它写成F帽的形式，这一做是为了提醒我们，这个量是复数：

联立以上的公式，将（iw）^2代入微分方程中，我们就把微分方程变成了纯粹的代数方程，于是我们实际中就可以得出一个解：

复数形式下的简谐运动方程

式中x帽代表了复数下的位移量！

我们把w0称为固有频率，当w接近w0时，分母趋于0，这个x帽将变得非常大，我们会得到一个非常强的响应。

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