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接下来的一段时间我要带着大家一起学习微积分，一起品味微积分的内涵，解密这座高山的神秘。
数学中最重要的概念是什么？
要谈重要概念，一定避不开的就是“函数”，大多数学生从初中就开始接触函数了，到了高中要学，大学还要学习函数，可是函数是什么呢？为什么函数这么重要？我私下以为，“函”者就是包含的意思，“数”者就是数值的意思。初中生的理解层面就是理解自变量，因变量，因变量跟着自变量的变化而变化，形成初步的感性的认识，只是接触下正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数；高中生可以细致考察定义域，对应关系，值域，奇偶性，周期性等方面去理解函数，要学习所有的初等函数，包括指数函数，幂函数，对数函数，三角函数，反三角函数等；大学生必须站在初中高中生理解的基础上继续深入，必须理解映射，理解极限，连续性，微分，可导，积分这些基本概念。
函数英文叫“function”，所以函数符号经常用f表示，普林斯顿微积分读本是这么解释函数的，见下：
普林斯顿微积分读本对函数的定义
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我以为可以把函数理解成一个“黑盒子”，或者“魔术盒子”，这个“盒子”有两个抽屉，”前抽屉”和“后抽屉”，前抽屉作为“输入端”，后抽屉作为”输出端“，这两个“盒子”里面只能放数字，这个“盒子的”作用就是变换，但是高数作为一个数学概念，不能随便变换，变换必须有一定的规则和要求。一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出（这很重要！）
函数盒子
有人说这有啥，“黑盒子”的概念小学生都能理解。没错这个概念看起来小学生能理解，可是围绕这个概念进行展开，内容就很丰富，比如说对输入的要求，这就涉及定义域的问题；对f本身的研究和讨论就涉及对应关系的研究；对输出的研究就涉及值域的问题；将输入和输出一起观察就是函数的图像；将输出与输入倒置过来就会出现反函数的概念；将输入的变化对输出的影响，就要讨论变化率的问题，更进一步就是导数的问题；对输入下输出量的求和就涉及积分的问题……看看吧!这里面的“宝藏”有多丰富，到处都是宝藏，值得人们去研究和探索！
函数的例子1
函数的例子2
学习数学的过程，也是一个不断成长的过程，随着人生阅历的增长，对函数的理解也会加深，我初中的时候对函数理解肯定没有现在深刻，因为那时候的见识不广，思维不深刻，知识结构比较简单。古人对山的理解有三个层次，第一层次：“看山是山，看水是水”，第二层次：“看山不是山，看水不是水”，第三层次：“看山还是山，看水还是水”。我想古人的第三层次一定是比第一层次深刻，全面，这里面充满了人生阅历，内容一定更丰富。我们学习函数也是一个“看山”的过程。
我认为要学好函数，需要以下注意点：
（1）一定不要急于求成，必须先理解“一对一，多对一”这种基本概念；
（2）需要多做练习，涉及定义域，值域，奇偶性，单调性的练习；
（3）仔细体会，品味啥叫定义域（自变量的取值范围,第一步就需要寻找自变量）
（4）需要亲手动笔去练习，加深对基本概念的理解；
（5）多绘制函数图像，形成感性认识。
（6）把基本函数吃透。包括函数图像，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性等。
广义的理解，函数就是一个黑盒子，涉及输入，涉及输出，涉及函数体，黑盒子就是把函数体藏起来了，只需要给输，调用黑盒子就可以得到输出，函数思维重要之处在于将复杂的对象打包，隐藏起来，人们只需要给输入就行，这种思维在计算机编程方面应用极其广泛。
下面用图像的方式展示一下各个阶段遇到的函数，供大家欣赏：
初中见到的函数：
一次与二次函数
高中见到的函数：
幂函数
指数函数
对数函数
正余弦函数
正余切函数
大学见到的函数：
勒让德多项式函数
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