自动控制理论中状态方程的作用

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在自动控制理论中，状态方程是一个非常重要的概念，那么，为什么要引入状态方程的概念，状态方程的意义又是什么呢？

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由以上分析可以看出，状态方程的建立过程，是以系统中的两个独立的物理量，即电容电压和电感电流作为自变量、它们的一阶导数作为变量而建立起来的。

图1

以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。在时域分析中，若控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。

（以下内容来自网络）

线性定常系统状态方程的解
假设线性定常系统的状态方程为

图2

状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t）的作用下在t时刻的状态响应x(t)。
线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。
设一阶线性微分方程为

式中a,b为常数，方程的初始条件为

对微分方程两边去拉普拉斯变换

整理后得

对上式两边进行拉普拉斯反变换得

其中，指数函数

可以展开成无穷级数

状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。
我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为

初始条件为

对齐次状态方程两边取拉普拉斯变换得

进而得

对上式两边求拉普拉斯的变换得

式中，

称为矩阵指数，A为n*n维方阵，

也是一个无穷级数

矩阵指数具有如下性质

齐次状态方程的解还可以写成

式中

称为状态转移矩阵，是n*n维矩阵。齐次状态方程的解说明，图2中状态方程的解就是状态从初始状态向t时刻状态的转移，所以把

称为状态转移矩阵。显然，对线性定常系统

状态转移矩阵具有如下性质

对于非齐次状态方程

可以写成

两边左乘

即

对上式积分

两边再左乘

得

上式也可以用状态转移矩阵表示

式中

非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。

状态转移矩阵的计算
状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，状态方程的求解，很大程度上是计算状态转移矩阵。状态转移矩阵的计算方法较多。我们这里仅通过例子介绍两种方法，即拉普拉斯变换法和直接计算法。
拉普拉斯变换法是按下面的表达式计算

例1 线性定常系统的状态方程为

计算其状态转移矩阵。
解

用拉普拉斯变换法计算状态转移矩阵，进行矩阵的求逆运算和求拉普拉斯反变换，在系统阶数较高时，计算非常烦杂。
直接计算法是最原始也最直观的算法。直接算法就是按下式进行直接计算

例2 已知线性定常系统状态方程的系统矩阵A为

计算其状态转移矩阵。
解

直接计算法得到的状态转移矩阵，矩阵中每个元素都是一个无穷级数，其缺点是系统阶数较高时，计算量很大，另外，无穷级数不容易写成闭式解析表达式。
状态转移矩阵的其他计算方法，例如把

化为对角线矩阵等，在这里不再叙述。有必要时请参看其他书籍。

再看如下例题：

（以上内容来自网络）

由以上分析大概可以这样来理解状态方程

的意义：

1：状态方程的第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。

2：结合图1，我们可以大概理解状态方程中矩阵A和矩阵B的意义：矩阵A表示的是在没有输入的情况下，自变量将如何变化的数学描述，所以称为状态转移矩阵；矩阵B则表示输入矩阵。

3：状态方程之所以要把方程左边（变量）统一为一阶导数，就是为了通过数学方法对自变量求解的方便性。