盾构机时间序列的分割：通过多元非线性自回归，用最小二乘法拟合

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文 |克己释法

编辑 |克己释法

前言

盾构机时间序列数据的分割是基于对数据的特征提取和模式识别，旨在将连续记录的数据划分为不同的状态区间，以便进行进一步的分析和预测。

传统的线性方法在面对复杂的非线性问题时效果有限，因此需要探索更准确的非线性自回归方法。

以多元非线性自回归模型进行拟合，用最小二乘法拟合参数。

通过拟合出的模型得到各个时间段的误差，再利用误差进行动态规划，最后对实际数据进行分割试验。

多元非线性自回归理论公式

1.1非线性自回归模型构造原理

常见的ＡＲＭＡ（n，m）模型为：

式中：ωt———观测值；φi，θj———不同量的参数；xt-i———观测值的列向量；at———白噪声。

根据函数逼近理论中的Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理，任何定义于一个闭区间的连续函数可以用多项式任意准确地逼近。

因此，非线性函数可以在一个闭区间内近似地采用多项式逼近，其表达式可以写为：

式中：λi1，ηi1，i2，λi1，i2，γi1，i2———模型参数。

上式描述的系统具有零初始状态（即ω０＝ω-1＝ω-2＝…=０），且系统在初始时刻t＝０之前无输入，则有：ω2＝a1，通过不断地反代入最终能得到：

式中：αi1，αi1，i2，…———模型参数；p———多项式展开的阶次；nj（j＝１，２，…，p）———各子项的记忆步长。

上式描述的模型称为非线性自回归时间序列一般表达式模型，简记为ＧＮＡＲ（ｐ；ｎ＿１，ｎ＿２，，ｎ＿ｐ）模型。

1.2 非线性自回归模型的参数估计

最小二乘法估计不需要样本数据提供概率统计方面的信息，并且统计结果有很好的统计特性，令：

则得到：

于是，参数Ψ的最小二乘估计为：

式中：

Y＝［wt，wt+1，…，wt+k］T

W＝［Wt，Wt+1，…，Wt+k］T

1.3 向量自回归模型

随机过程可描述为：

上式称为p阶向量自回归模型，记为VAR（p），其中yt=（y1t，y2t，…，ykt）T是K维随机向量，Ai是K×K维自回归系数矩阵。

v是K维截断项，ut＝（u１t，u2t，…，ukt）T是K维白噪声，满足VAR（p）模型的过程称为VAR（p）过程。

通过向量表示，K维VAR（p）模型可转化为Kp维VAR（１）模型：

用最小二乘法估计回归参数，则离差平方和方程为：

在求A的时候，必须要求（yT-y）-１存在，则yT-y必须是一个非奇异矩阵，由线性代数的知识可知，yT-y为p＋１阶满秩矩阵，则：

n≥p＋１

说明在回归计算之前必定要满足样本数量大于回归数，多项式自回归是一种可以转化为线性自回归的一种重要模型，ｍ阶多项式回归模型：

当多项式回归的阶数不一样的时候，回归出来的曲线有很大的区别

同时还存在多元多阶多项式回归模型：

如上式所示，式中最高次数一定是大于1的，显然是个非线性回归模型。

但是如果把式中次数大于１的自变量用另一个一次自变量代替时，非线性回归模型转化为线性回归模型：

动态规划算法推导

假设分割出的每一段必须包含两段数据，其中Ｅ（ｉ，ｊ）表示第ｉ到第ｊ段的真实误差，Ｃａ（Ｉ，Ｊ）表示第Ｉ到Ｊ段划分为ａ段时的最小误差，YK表示进行不同段的数据，所以动态规划的步骤如下：

第1步：通过上一节所说的算法得到的不同数据段的误差就是Ｅ（ｉ，ｊ），与之联系的几个YK则表示的是这个误差来源，得到Ｅ（ｉ，ｊ）表示第ｉ到第ｊ段时间中通过非线性自回归拟合得到数据与真实数据的误差值。

第2步：通过比较得到不同时间段分割两段时的最优误差值（这是可以直接通过比较得到的）。

如下图上半部分将5个数据分两段进行比较，其他不管多大的数据量分割两段也能以此类推。

第3步：接下来是分割3段，分割3段需要用到分割两段的结果，上半部分5个数据只能分两段，于是通过比较得到Ｃ２（１，５）前5个数据分两段的最优情况。

得到最优后通过下面半个部分可以看到７个数据进行3段分割有两种情况：Ｃ２（１，５）＋Ｅ（６，７）和Ｃ２（１，４）＋Ｅ（５，７）。

其中Ｃ２（１，５）是5个数据的局部最优误差，最终通过比较就能得到分3段的最优解，同样的对于更多的数据量也是用这一样的方法进行3段的分割。

第4步：进行4段的分割，也就是用3段分割的最优解误差加上一段的误差进行比较得到4段分割的最优解，于是不论多少段的分割都能够进行分割了。

通过不断地相加比较等步骤能得到：

式中：dti，tj———时刻ti到时刻tj之间样本数据的误差值；Ck-1t1，tn-2———比较之后得到的最优解误差。

盾构机时间序列分割

我国某城市地铁隧道掘进工程隧道的全长为２０００m，剖面直径为６．４m，掘进中采用土压平衡盾构机（ＥＰＢ）。

这款盾构机包括刀头、箱体、机尾外壳、螺旋输送机等辅助子系统，盾构机的直径为６．２m，质量超过５００t。

在它刀头的刀库里一共含有１２０把刀具，后面采用的数据分别来自盾构机掘进过程中的3种施工状态，所以将目标数据分为３类。

但由于盾构机体积过于庞大，结构复杂，外加只能使用笔记本电脑进行计算，所以只取一些相关的数据进行分析。

3.1设计试验

刀盘转矩Ｔ是盾构机运行参数中最重要的参数之一，并且刀盘转矩Ｔ能够反应盾构机状态，所以将Ｔ作为主要分割对象，结合膨润土压力、螺机转矩。

Ａ组推进位移进行一次综合的时序分割计算，在得到的数据中，3种工况下，分别取刀盘转矩Ｔ，螺机转矩，Ａ组推进位移对应的４００个样本作为试验数据集。

为了有更加准确的分割点，首先使用非线性自回归模型通过最小二乘法将刀盘转矩Ｔ的数据进行拟合，并通过程序测试不同阶次不同步长进行对比，选取其中误差最小的。

在确定模型结构后再从小到大测试不同的样本数据量，当分割点趋于平稳的时候就是最接近的分割点。

可以得出3种工况在模型结构是2阶，且1阶为２，2阶为１时误差最小，较为合理，并且数据变化情况表明数据有两个比较突变的情况。

所以分割３段并选用此模型结构进行后面的分割，由于刀盘转矩Ｔ是最表现状态的数据，所以在进行多元分割的时候，也用此模型。

3.2试验结果

试验选用推进压力和刀盘转矩这两组数据进行分割试验，分别进行了单个数据的分割及两组数据多元分割，推进压力在特殊时刻瞬间下降，表示这个时候土地中有空鼓。

于此同时刀盘的转矩也随之下降，而下图所示的时间处进行分割时符合实际情况，所以此算法是有效的。

通过动态规划算法及多元非线性自回归算法的有机结合，建立了文中多元线性自回归时间序列分割的详细流程。

并根据多元线性自回归及动态规划原理通过ｐｙｔｈｏｎ语言编写了多元非线性自回归动态规划算法程序，并通过4组时间函数试验检验所设计算法的性能。

相比传统单一数据和线性分割拥有绝对的优势，将非线性自回归动态规划算法对3种工况下的盾构机数据进行分割，以刀盘转矩作为主要分割对象。

结合螺机转矩、Ａ组推进位移这几组数据进行多元的分割，通过将数据图像进行对比，可知分割效果理想。

结论

文中介绍了一种基于非线性自回归的盾构机时间序列数据分割方法，该方法通过引入非线性的自回归关系，能够更准确地描述盾构机的运行状态.

实验结果表明，该方法在分割、分析和预测盾构机时间序列数据方面具有良好的性能，未来可以进一步改进与扩展该方法，以满足更高精度的盾构机状态识别与预测需求。

参考文献

［１］崔国华，王国强，何恩光.盾构机的研究现状及发展前景［Ｊ］.矿山机械，２００６，３４（６）：２４－２７.

［2］沈建奇，金先龙，王吉云.基于并行计算的盾构机过大堤三维数值模拟［Ｊ］.上海交通大学学报，２００８，４２（８）：１２９６－１３００.

［3］杨宗金，薛亚东，张冬梅.ＴＢＭ掘进机性能预测模型研究［Ｃ］//２０１６中国隧道与地下工程大会（ＣＴＵＣ）暨中国土木工程学会隧道及地下工程分会第十九届年会，成都，２０１６：540-546.

［4］姚宜斌，冉启顺，张豹.改进的启发式分割算法在ＧＮＳＳ坐标时间序列阶跃探测中的应用［Ｊ］.武汉大学学报：信息科学版，２０１９，４４（５）：６４８－６５４.