从梅森数到卢卡斯数列

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话题：#科学 科技# #数学# #算法#

小石头/编

（写在开头的废话）

素数公式素数一直是人类的梦想，可是这非常非常困难，一时半会儿怕不是也搞不出生产全部素数的公式，退而求其次，有两个方向：

• 找素数分布的统计规律；
• 找生成素数子列的公式；

这第二个方向就是我们今天要讨论的话题。历史上，有无数的数学家，在这个方向上探究过，其中比较有名的是：

• 梅森数 Mp=2ᵖ-1 （p 为素数）；
• 瓦格斯塔夫数 Wp=(2ᵖ+1)/3 （p为奇素数）；
• 费马数 Fn = 2²ˆⁿ + 1 （n为自然数）；

虽然，这些公式都失败了（存在产生合数的情况），但是它们却发挥着意想不到的作用，而且他们还都有自己的推广形式。

其实还有很多整数，它们的产生与素数公式无关，其中著名的有：

• 完全数：真因子之和等于自己；
• 亲和数：一对真因子之和等于对方的数，例如：220与284（大家可以自己演算）；
• 三角数：∑₀ⁿ (2k+1)；

研究整数的学问就是数论，早期的数论就是算术，起源于 古希腊的 丢番图（著有 《算术》一书），后来一度沉寂，直到 文艺复兴时，欧拉和费马 两位大神 才开启了 数论的研究。而 高斯 和 勒让德 使得 《初等数论》发展到了一个新高度。

时代变迁，数学发生了，两次根本性变革，其一：微积分的诞生标志着 分析时代的到来，其二：群论的发现标志着 抽象代数王朝的降临。数论学家也以他们作为研究对象，变革着 数论的研究方法，至此 数论有了两条分支：《解析数论》和《代数数论》。

据说还有以几何为工具的《几何数论》,这个小石头 实在是 没有接触过，有哪位大神 可以给大家科普一下吗？

时至今日，素数公式，依然是民间讨论最多的数论问题之一（哥德巴赫猜想、孪生素数猜想 和 黎曼猜想 是另外的热门问题），我相信头条的数学爱好者中也一定有创造自己（不完全）素数公式的数的人。

如果你有兴趣，也可以不妨试一试。也欢迎大家在评论区讨论！

（正文）

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