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基变换的公式如下：
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基变换，顾名思义，就是对基向量本身进行变换。对于基向量β1，β2，。。。，将其变换到α1，α2，。。。组成的空间中，其坐标是多少呢？就是矩阵P中的列向量.。
如上图所示，p(1，0)和q(0,1)表示XOY坐标系，现在要把这两个基向量变换到mon坐标系中，在mon坐标系中取两个列向量（-1，1）和（1，1），得到如下方程：
可以看到，向量p(1.0)在mon坐标系中的坐标变为（-1/2，1/2），即方程右边过渡矩阵的第一列，向量q(0,1)则是第二列。
以上例子表示的意思是，同一个向量，在基β1，β2，β3，β4下面的坐标是x1’，x2’，x3’以及x4‘，在基α1，α2，α3，α4下面的坐标是x1,x2,x3,x4,两者之间就存在上述关系。
为了更清楚理解，再看下面一个网上的例子：
由此可以很清楚地理解坐标变换的几何意义。
简单来说，基变换就是对基向量本身在两组不同的基之间进行坐标变换，而坐标变换指的是对同一个向量计算它在不同的两个基之间的坐标。
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