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设X是一个集合，是X的子集族（其元素称为开集），则(X,)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：
1. 空集和X是开集，
2.任意开集的并是开集，
3.有限个开集的交是开集。
这时，X中的元素称为点。我们也称是X上的一个拓扑。
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以上定义中的子空间由U和Y的交集构成，现在按照上面定义中的三个要求，证明这个子空间也是拓扑空间。
以下是证明任意个集合的并还属于子空间：
以下是证明任意个集合的交还属于子空间：
以上证明可以图示如下：
假设整个集合是X，其中的Y假设由y1,y2,y3,y4组成，Ux为彩色部分。
例如，考虑实数集R上的标准拓扑，其中开集是形如(-∞, a) ∪ (b, ∞)的集合。如果取S为R中的一个区间，例如[0,1]，那么在S上定义的子空间拓扑就是所有形如[0, a) ∪ (b, 1]的集合的集合。
子空间在数学分析中有重要的应用。例如，在研究函数的空间时，我们经常考虑函数的空间中的子空间，这些子空间通常具有特殊的性质，如闭包、极限点等。此外，子空间的概念在几何和物理中也有广泛的应用，例如在研究流形上的函数时，流形上的子流形就是一个典型的子空间。
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