欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
在前面的文章《如何判断泰勒级数的收敛域》里，给出了实函数的泰勒定理，那么对于复级数，它有着比实函数更好的性质，复变函数论中的泰勒定理说，在区域内解析，那么在包含于区域的圆内就可以展开为幂级数。重要的是，泰勒定理的逆命题也是成立的，即幂函数在其收敛圆内解析。
定理1（泰勒定理）：
设f(z)在区域D内解析，a属于D，只要圆K：|z-a|<R包含于D，则f(z)在K内能展成幂级数
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
唯一性等到证明了它的逆命题之后再证明。下面来证明泰勒定理的逆定理。要证明这个定理需要用到复级数中幂级数的阿贝尔定理，类似于实幂级数的阿贝尔定理，关于判断幂级数的收敛范围的。下面给出阿贝尔定理。
下面是泰勒定理的逆定理。
证明：在前面的文章《复变函数论：复级数的敛散性如何判断？》里证明过魏尔斯特拉斯定理，由于幂级数每一项是解析的，而根据阿贝尔定理，幂级数在K内内闭一致收敛，所以f(z)在收敛圆内是解析的，（1）成立。内闭一致收敛是可以逐项求导的，所以（2）成立。
在 （二）中令z=a得到（3）。
要证明泰勒定理展开式的唯一性，就是用到这个定理的（3），设还有其他展开式
复变函数中的泰勒定理及其逆定理是美妙的，它将复变函数在某区域解析与某区域可展开成幂级数对应起来，这样解析可以用可展开成幂级数定义，它们是完全等价的，这在实函数中是不可能的事。实函数在某些区间有任意阶的导函数，也不能判断在这个区间能展开成幂级数，而对于 复变函数，不用具体看余项是否趋近于0，只要判断函数在复平面的解析性就能判断在哪些点能展开成幂级数了。所以有趣的是，某些实函数，它的收敛域与它在复平面上的解析性有关。这就像斐波拉契数列的每一项都是整数，但它的通项公式竟然是由无理数得到的。所以有数学家说：”实数范围中两个真理之间的最短路径经过复数。”
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://itzsg.com/106849.html
