机器学习基础知识学习-数学期望的性质及应用

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数学期望对于离散型是求和的运算，对于连续型是积分的运算

数学特点 数学期望是关于积分变量与密度乘积的积分运算(离散情形是求和)是一种线性运算

对于连续型随机变量 E(X) =
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对于离散型随机变量 E(X) =

定理(数学期望的性质)

(1) 若 a X b (a.e) 则 a E(x) b. (a, b为常数)

注：a.e表示几乎处处成立

(2) 若c为常数，则 E(cX) = c·E(X)

(3) E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )

(4)若X，Y相互独立，则E(X·Y) = E(X)·E(Y)

证明：设(X , Y) ~ f(x , y) , X ~ ，Y ～

若X，Y相互独立，则 f(x,y) = ·

推论(数学期望的性质)

（5）若 X = c (a.e) 则 E(X) = c. (c 为常数)

（6）若,… , 均为常数，则

E() =

性质6是性质2、性质3运用推纳法推论出来的

（7）若，，… ，相互独立，则 E() = E()E()…E()

性质7是性质4利用归纳法推论出来的

例 一电梯载有12位乘客自一楼至十一楼，如到达某楼层没有乘客下电梯，则该层不停.以X表示电梯停的次数。求E(X).(假设每个乘客在任一层下电梯时等可能的，且各乘客是否下电梯是相互独立的)

例 旅游团的N个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游.回到酒店后，每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门，试问平均有多少人能打开房门

例 设 N 件产品中有 M 件次品，在该批产品中任意取 n 件，记 X 表示取出的次品个数，

求 E( X )

注：这是无放回取样，且产品件数不一定很大

从上面的例子可知，构造适当的概率模型求复杂公式的值是常用的数学技巧

例 一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量 X ～U(300,500)(单位：吨)，每出售一吨原料公司可获利1千元，若积压一吨，则公司要损失0.5千元.问公司应该组织多少货源，可以使收益最大？

数学期望的学习告一段落了，总结起来数学期望的知识点对基础的要求非常高，像以前学过的线性代数、微积分和概率论的基础知识都用了。要想把知识掌握牢靠，还需要在实践中多练习，相信通过持之以恒的学习和运用，懵懂的知识点都会像九九乘法表一样熟练掌握

概率论到这里也告一段落了，下一篇章学习偏导数和梯度，学完这两个知识点，数学的基础知识也将告一段落了，千呼万唤始出来的python即将登场

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