机器学习基础知识学习-数学期望的定义、随机变量函数的数学期望

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学完条件概率和独立性后，直接学习的数学期望。不来概率论就难理解，跳过很多知识点来学习数学期望，理解起来难度更大。时间紧迫，先强行记住一些公式和算法，慢慢理解，等学完天池一场比赛的优秀代码后，再继续学习概率论的其他知识点吧！

书读百遍，其义自见。相信不懂得知识点在长期的使用过程中会慢慢理解

数学期望的定义与计算

刻画随机变量的概率特性有分布律、密度函数、分布函数三种方法

三种方法的特点：全面、详细、完整

三种方法的不足：复杂、重点不突出

问题：怎样粗线条地描述随机变量的特性？

要求：简单明了、特征鲜明、直观实用

例

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从上图例题中分析得出，通过总环数和平均环数的对比，确定甲的成绩更好一些。有没有其他明了的比较方法呢？用“频率近似概率”的思想，得到甲、乙两射手中环数的分布律如下

平均值的概念广泛存在

例如 某课程考试的平均成绩

电子产品的平均无故障时间

某地区的日平均气温和日平均降水量

某地区水稻的平均亩产量

某地区的家庭平均年收入

某国家或地区的平均寿命

定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X = } = , k = 1, 2, …

若级数 < ∞，

记 E(x) =

则称 E(x) 为随机变量 X 的数学期望

说明

1. 数学期望也称为期望、均值(“加权”平均)
2. 保证了与求和次序无关

3.若级数= ∞，则称E(x)不存在

例 从学校去火车站要经过3个交叉路口，设在每个路口遇到红绿灯的事件是独立的，其概率均为0.5.记 X 表示途中遇到的红灯数，求数学期望 E(x)

数学期望的物理意义

例

定义 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，若 < ∞，记

E(x) = ,则称 E(X)为随机变量 X 的数学期望

例 设 X ～U(a, b)，求 X 的数学期望

例 设 X ～P()（> 0）,求 E(X)

例 设 X ～ b( n , p)，求 E(X)

例 设 X 服从参数为 (> 0)的指数分布，求 E(X)

例 设 X ～ N (, )，求 E(X)

例 设 X 服从柯西分布，求E(X)

解：

随机变量函数的数学期望

回顾与分析

若g(x)单调且连续可导，则其反函数 x = h(y)存在且连续可导，且有,从而

=

(因为h(y)=x)

=

有意思的结果：E(X) =

E(X) =

这个结果对普通函数也成立

定理

例 设风速 V～U(0,a),飞机机翼受到的压力为 W =，其中k是正常数，问机翼受到的平均压力为多大？

解：

例 过平面上点(0,b)任作一条直线l ,求由坐标原点 O 到直线 l 的平均距离

可以看出来一个特点：在算一个随机变量函数的数学期望的时候，没有必要把函数的密度算出来再用数学期望的定义去算数学期望，而是利用函数本身乘上最原始的随机变量密度函数，直接做积分。这样就可以把整个问题的计算过程化简

推广的定理

例

从直观上分析E(XY)=0的合理性：数学期望的实际意义是随机变量取值的一个平均值或着说随机变量取值的一个中心值。若(X,Y)是在单位圆上的均匀分布，也就是(X,Y)这样的一个随机点在一个单位圆上都是等可能出现的，所以X值、Y值，两个值的乘积结果是关于原点对称的。它的数学期望的最终结果是一个正负抵消的一个结果

扩展一下：E(X + Y) = 0 但 E() 0

因为等于0存在正负抵消，、都是正数，所以 E() 0

例

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