比RSA加密更快更安全的加密算法ECC

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前几天我发表一片关于RSA的加密算法，很多人留言让我讲解一下ECC 椭圆加密算法。首先我在这里声明一下 椭圆加密算法不像RSA 用中学的数学知识就可以解决。本文中也是参考了网上的很多资料，

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

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例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:

该椭圆曲线E的图像如图X-1所示，可以看出根本就不是椭圆形。

定义椭圆曲线的运算规则

加法

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

二倍运算

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

正负取反

将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

无穷远点

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G……。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2……p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：　　y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG

相关公式如下：　　有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ² – Xp – Xq) mod p　　Yr = (λ(Xp – Xr) – Yp) mod p　　其中λ = (Yq – Yp)/(Xq – Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G…xG等等，方法如下：

计算2G：　　λ = (3×0² + 1)/2×1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12　　Xr = (12² – 0 – 0) mod 23 = 6　　Yr = (12(0 – 6) – 1) mod 23 = 19　　即2G为点(6,19)

计算3G：　　3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)　　λ = (19 – 1)/(6 – 0) mod 23 = 3　　Xr = (3² – 0 – 6) mod 23 = 3　　Yr = (3(0 – 3) – 1) mod 23 = 13　　即3G为点(3, 13)

椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

公钥加密：　　选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：　　C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

私钥解密：　　M + rK – k(rG) = M + r(kG) – k(rG) = M　　其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。　　设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

私钥签名：　　1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。　　2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。　　3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名：　　1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。　　2、根据消息求哈希h。　　3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

原理如下：　　hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s　　= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

签名过程

验证过程

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。

这个是网上ecc 的demo

# -*- coding:utf-8 -*- def get_inverse(value, p): """ 求逆元 :param value: 待求逆元的值 :param p: 模数 """ for i in range(1, p): if (i * value) % p == 1: return i return -1 def get_gcd(value1, value2): """ 辗转相除法求最大公约数 :param value1: :param value2: """ if value2 == 0: return value1 else: return get_gcd(value2, value1 % value2) def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p): """ 计算P+Q :param x1: P点横坐标 :param y1: P点纵坐标 :param x2: Q点横坐标 :param y2: Q点纵坐标 :param a: 曲线参数 :param p: 曲线模数 """ flag = 1 # 定义符号位(+/-) # 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod p if x1 == x2 and y1 == y2: member = 3 * (x1 2) + a # 分子 denominator = 2 * y1 # 分母 # 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p else: member = y2 - y1 denominator = x2 - x1 if member * denominator < 0: flag = 0 # 表示负数 member = abs(member) denominator = abs(denominator) # 化简分子分母 gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公约数 member = member // gcd denominator = denominator // gcd # 求分母的逆元 inverse_deno = get_inverse(denominator, p) # 求斜率 k = (member * inverse_deno) if flag == 0: k = -k k = k % p # 计算P+Q=(x3,y3) x3 = (k 2 - x1 - x2) % p y3 = (k * (x1-x3) -y1) % p return x3, y3 def get_order(x0, y0, a, b, p): """ 计算椭圆曲线的阶 """ x1 = x0 # -P的横坐标 y1 = (-1 * y0) % p # -P的纵坐标 temp_x = x0 temp_y = y0 n = 1 while True: n += 1 # 累加P,得到n*P=0∞ xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p) # 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此时n+1为阶数 if xp == x1 and yp == y1: return n+1 temp_x = xp temp_y = yp def get_dot(x0, a, b, p): """ 计算P和-P """ y0 = -1 for i in range(p): # 满足适合加密的椭圆曲线条件，Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1] if i2 % p == (x03 + a*x0 + b) % p: y0 = i break # 如果找不到合适的y0返回False if y0 == -1: return False # 计算-y x1 = x0 y1 = (-1*y0) % p return x0, y0, x1, y1 def get_graph(a, b, p): """ 画出椭圆曲线散点图 """ xy = [] # 初始化二维数组 for i in range(p): xy.append(['-' for i in range(p)]) for i in range(p): value = get_dot(i, a, b, p) if (value != False): x0,y0,x1,y1 = value xy[x0][y0] = 1 xy[x1][y1] = 1 print('椭圆曲线散点图：') for i in range(p): temp = p - 1 -i if temp >= 10: print(temp, end='') else: print(temp, end='') # 输出具体坐标值 for j in range(p): print(xy[j][temp], end='') print() print(' ', end='') for i in range(p): if i >= 10: print(i, end='') else: print(i, end='') print() def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p): """ 计算nG """ temp_x = xG temp_y = yG while priv_key != 1: temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p) priv_key -= 1 return temp_x, temp_y def get_KEY(): """ 生成公钥私钥 """ # 选择曲线方程 while True: a = int(input('输入椭圆曲线参数a（a>0）的值：')) b = int(input('输入椭圆曲线参数b（b>0）的值：')) p = int(input('输入椭圆曲线参数p（p为素数）的值：')) # 满足曲线判别式 if (4*(a3)+27*(b2))%p == 0: print('输入的参数有误，请重新输入！\n') else: break # 输出曲线散点图 get_graph(a, b, p) # 选择基点G print('在上图坐标系中选择基点G的坐标') xG = int(input('横坐标xG：')) yG = int(input('纵坐标yG：')) # 获取曲线的阶 n = get_order(xG, yG, a, b, p) # 生成私钥key，且key<n priv_key = int(input('输入私钥key(<%d)：'%n)) #生成公钥KEY xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG def encrypt(xG, yG, xK, yK,priv_key, a, p, n): """ 加密 """ k = int(input('输入一个整数k(<%d)用于计算kG和kQ：' % n)) kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kG kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQ plain = input('输入需要加密的字符串：') plain = plain.strip() c = [] print('密文为：', end='') for char in plain: intchar = ord(char) cipher = intchar * kQx c.append([kGx, kGy, cipher]) print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ') print() return c def decrypt(c, priv_key, a, p): """ 解密 """ for charArr in c: kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p) print(chr(charArr[2] // kQx), end='') print() if __name__ == '__main__': xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY() c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n) decrypt(c, priv_key, a, p) 

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