贝塞尔曲线及可视化展示

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背景

下午看《工业软件简史》，遇到这么一段。

工业软件简史——林雪萍

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贝塞尔曲线（Bézier Curve）是一种用于计算机图形学和相关领域的数学曲线，由法国数学家皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）发明，最初用于汽车车身设计。

皮埃尔·贝塞尔，1910~1999

贝塞尔曲线广泛应用于计算机图形学、字体设计、动画制作等领域。

1、基本概念

贝塞尔曲线是通过一组控制点定义的，曲线的形状由这些控制点决定。

控制点的个数越多，贝塞尔曲线越复杂。

常见的贝塞尔曲线有三类：

• 线性贝塞尔曲线：通过两个控制点定义，实际上是线段。
• 二次贝塞尔曲线：通过三个控制点定义，曲线更柔和。
• 三次贝塞尔曲线：通过四个控制点定义，这是应用最广泛的一种贝塞尔曲线。

2、贝塞尔曲线的公式

线性贝塞尔曲线

线性贝塞尔曲线由两个控制点和 定义，其数学表达式为：

其中， t 是参数，取值范围在 [0, 1] 。

二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由三个控制点 定义，其数学表达式为：

三次贝塞尔曲线

三次贝塞尔曲线由四个控制点 定义，其数学表达式为：

3、贝塞尔曲线的应用

1. 计算机图形学：贝塞尔曲线用于绘制平滑的曲线和形状。
2. 矢量图形：如在Adobe Illustrator、Inkscape、AutoCAD等软件中，通过控制贝塞尔曲线控制点，设计师可以创建复杂的矢量图形。
3. 动画：贝塞尔曲线常用于运动轨迹和时间控制上，通过调整曲线的形状来使物体在动画中的运动更加自然。
4. 字体设计：贝塞尔曲线广泛应用于字体轮廓的设计，允许设计师灵活地控制字符的形状。

4、可视化完整示例

我们可以使用 Python 和 matplotlib 库来绘制贝塞尔曲线，下面是一个三次贝塞尔曲线的可视化示例。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import rcParams # 定义贝塞尔曲线的函数 def bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t): return (1-t)3 * P0 + 3*(1-t)2 * t * P1 + 3*(1-t) * t2 * P2 + t3 * P3 # 控制点 P0 = np.array([0, 0]) P1 = np.array([1, 2]) P2 = np.array([3, 3]) P3 = np.array([4, 0]) # 创建 t 的值，范围从 0 到 1 t_values = np.linspace(0, 1, 100) # 计算贝塞尔曲线上所有点 bezier_points = np.array([bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t) for t in t_values]) # 可视化贝塞尔曲线 plt.plot(bezier_points[:, 0], bezier_points[:, 1], label="贝塞尔曲线", color='b') # 绘制控制点 control_points = np.array([P0, P1, P2, P3]) plt.plot(control_points[:, 0], control_points[:, 1], 'ro--', label="控制点") plt.legend() plt.title("三次贝塞尔曲线") plt.xlabel("X 轴") plt.ylabel("Y 轴") plt.show()

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代码解释：

• bezier_curve 函数计算三次贝塞尔曲线给定 t 参数时的坐标。

• 使用 np.linspace(0, 1, 100) 生成从 0 到 1 的 100 个均匀分布的 t 值，表示曲线的每一个点。

• 通过绘制贝塞尔曲线和其控制点，可以看到曲线如何通过控制点形成其独特的形状。

通过这段代码，将看到一个蓝色的贝塞尔曲线和红色的虚线连接的控制点。

动图效果如下：