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今天要讲的是微积分中最强大最精彩的数学公式，我个人认为这是人类头脑所能想到的最美妙的想法之一，它被称为”泰勒级数”，泰勒级数是一种把函数变成多项式的方法。对，当我说函数时，我指的是各种函数，三角函数，指数函数，对数函数等等。
多项式的导数和系数之间的一种深层关系
考虑一个m次的一般多项式p(X)，形式如下
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图1
系数与多项式及其导数有什么关系?假设我们在x = 0处取值。然后，所有具有x的非零次幂的项都消失了”
图2
现在对图1等式两边都求导
如果我们让x=0那么我们得到的结果和我们把x=0代入原始多项式的结果相似
我们对第三个系数做同样的处理
但这次不同，因为我们有一个2在下面
但是我们怎么得到第k项的系数呢?为了更为明显，在这里展示另一个结果，
我们考虑如下
它的一阶导数是
上式的导数是
通过一些归纳思维，我们可以得到第j个导数值
(注意:左边的指数表示j阶导数，而不是g的j次幂)
假设我们取k阶导数;把j = k !
由此我们得到了
让我们回到原来的多项式p(x)
两边的k阶导数
这里需要注意的是，指数大于k的项仍然带有x，所以当我们计算x=0处的k阶导数时，所有这些项都消失了。由此得到了多项式的第k项系数与第k项导数在零点处取值的关系式
奇妙的是，这里我们可以看到，在一个多项式的简化形式中，所有各项系数等于多项式在0处的k阶导数除以k !现在我们用系数的一般公式来重写这个多项式
最后一项x的指数是m，因为我们的前提是多项式是m阶的。
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