行列式，为什么？

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话题：#数学# #线性代数#

小石头/编

行列式的定义：

设 V 是域K上的 n维线性空间，若 V 上的 n重函数 det:(V)ⁿ→K , 对于 任意一个参数 vᵢ，都满足线性性质：

• det(…, vᵢ + v, …) = det(…, vᵢ, …) + det(…, v, …)，(v ∈ V)；
• det(.., kvᵢ, …) = k det(.., vᵢ, …) , (k ∈ K)；

则称 det 为线性函数，若 det 还满足行列式性质：

• det 是反对称的，即，det(…, vᵢ, …, vⱼ, …) = -det(…, vⱼ, …, vᵢ, …) ；
• 对于 V 的 自然标准单位正交基 e₁, …, eₙ，有 det(e₁, …, eₙ)＝1；

则 称 det 为 行列式，并记，

| v₁ |

| … | ＝det(v₁, …, vₙ)

| vₙ |

◈◈◈◈◈◈

行列式的解析式推导：

以 K = ℝ ，V ＝ ℝⁿ 为例， 此时，

e₁＝(1, 0, …, 0), …, eₙ＝(0, …, 0, 1)

于是任意向量 v＝(a₁, …, aₙ) 可线性表示为，

v＝a₁e₁＋…＋aₙeₙ

定义投影函数，

e¹(v)＝a₁, …, eⁿ(v)＝aₙ

对于 任意一组向量

v₁＝a₁₁e₁＋…＋a₁ₙeₙ, …，vₙ＝aₙ₁e₁＋…＋aₙₙeₙ，

根据线性性质，有，

det(v₁, …, vₙ)＝∑ᵢ₁,…,ᵢₙ₌₁ⁿa₁ᵢ₁⋅⋅⋅aₙᵢₙdet(eᵢ₁, …, eᵢₙ)＝∑ᵢ₁,…,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, …, eᵢₙ)a₁ᵢ₁⋅⋅⋅aₙᵢₙ＝∑ᵢ₁,…,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, …, eᵢₙ)eⁱ¹(v₁)⋅⋅⋅eⁱⁿ(vₙ)

对于任意一组线性函数 f₁, …, fₙ:V→K，定义张量积，

(f₁⊗⋅⋅⋅⊗fₙ)(v₁, …, vₙ)＝f₁(v₁)⋅⋅⋅fₙ(vₙ)

则有，

det＝∑ᵢ₁,…,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, …, eᵢₙ) eⁱ¹⊗⋅⋅⋅⊗eⁱⁿ

再 根据 反对称性，可推导出：

• det(eᵢ₁, …, eᵢₙ) ≠ 0 当且仅当 i₁ ≠ … ≠ iₙ

此时，i₁，…，iₙ 是 N＝{1, …, n} 的一个全排列，于是存在 N 上的 置换 s ∈ Sₙ，使得，

i₁＝s(1)，…，iₙ ＝s(n)

进而有，

det＝∑s ∈ Sₙ det(eₛ₍₁₎, …, eₛ₍ₙ₎) eˢ⁽¹⁾⊗⋅⋅⋅⊗eˢ⁽ⁿ⁾

又 根据 行列式性质，有，

det(eₛ₍₁₎, …, eₛ₍ₙ₎)＝(-1)ᴺˢdet(e₁, …, eₙ)＝(-1)ᴺˢ·1＝(-1)

其中，Nₛ＝N(s(1), …, s(n)) 表示 s(1), …, s(n) 的逆序数，这样最终就得到行列式的解析式：

det＝∑s ∈ Sₙ (-1)ᴺˢ eˢ⁽¹⁾⊗⋅⋅⋅⊗eˢ⁽ⁿ⁾

写成大家熟悉的形式就是：

| a₁₁, …, a₁ₙ |

| …, …, … | ＝∑ₚ₁,…,ₚₙ (-1)ᴺ⁽ᵖ¹’¨’ᵖⁿ⁾ aₚ₁⋅⋅⋅aₚₙ

| aₙ₁, …, aₙₙ |

◈◈◈◈◈◈

最后，众所周知：

• n重线性函数 就是 n阶协变张量，

于是我们有如下总结：

• n维线性空间 V上的 n阶行列式 det 就是，使得 det(E)＝1 的 V 上的 反对称 n阶逆变 张量。

这里，

┌ e₁ ┐ ┌ 1, 0, …, 0 ┐

│ … │＝ │ … … … …. │ = E

└ eₙ ┘ └ 0, …., 0, 1 ┘

是 单位矩阵。

行列式的 性质 是怎么来的？

实际上，n阶 行列式的 几何意义是

• 以n个参数向量为边构成的 n维超平行六面体的 有向体积；

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以 n = 2 为例，则 行列式 det(v, w) 即为上图的平行四边形面积，此时以我们初中《平面几何》的经验容易得到如下结论【注：以下只对参数v进行推导，而参数w类似，不加累述】：

• 缩放性：将 一个边缩放 k 倍，则 平行四边形面积 也跟着 缩放k倍，即，det(kv, w) = kdet(v, w)，这就是线性性质2；
• 平移不变性：将 一个边沿着所在直线平移，则 平行四边形面积 不变，设 平移的是 w 的对边 l，平移向量是 kw，则平移后 v 边变为 v + kw，于是我们有 det(v, w) = det(v + kw, w)；

这样我们就得到了 平行四边形面积 的两大公理，通过这个 两大公理，我们可以推导出：

• 线性性质1：

如图，有，

det(v, w) + det(u, w) = det(v + kw, w) + det(-kw + u , w) = det(λ(v + u), w) + det((1-λ)(v + u) , w) = λdet(v + u, w) + (1-λ)det(v + u , w) = (λ + (1-λ))det(v + u, w) = det(v + u, w)

即得到，

det(v + u, w) = det(v, w) + det(u, w)

• 反对称性：

det(u, u) = det(u + (-ku), u) = det(0, u) = det(0u, u) = 0det(u, u) = 0

即得到，

det(u, u)= 0 ①

再 根据 线性性质1 有，

0 = det(v+w, v+w) = det(v+w, v+w) = det(v, v+w) + det(w, v+w) = det(v, v) + det(v, w) + det(w, w) + det(w, v) = 0 + det(v, w) + 0 + det(w, v) = det(v, w) + det(w, v)

即得到，

det(w, v) = -det(w, v)

最后，如图，单位面积自然是1，即，

det(e₁, e₂) = 1

上面的推导说明，反对称性 可以通过 性质① 得到，而反过来 由反对称性有，

det(u, u) = -det(u, u) ⇒ 2det(u, u) = 0 ⇒ det(u, u) = 0

这样就证明了，反对称性 和 性质① 等价，于是可将 行列式性质 中的 反对称性 替换为 性质①。另外，在满足线性性质的情况下，也可以由 性质① 得到 平移不变性，推导过程如下，

det(v + kw, w) = det(v, w) + det(kw, w) = det(v, w) + kdet(w, w) = det(v, w) + k0 = det(v, w)

【注： n > 2 的情况 和上面类似，这里不在累述】

BTW：

我们知道 V 上的 线性变换 f: V→V，在 V 确定基之后 与 V 上的 唯一 n阶方阵 A 对应，即有，f(v) = Av，此时，若设 V 中的 超几何体 G 被 f 变换为 f(G)，则 行列式的 |A| 的意义就是，

|A| = f(G)的超体积 : G的超体积 ②

考虑，椭圆，

x²/a² + y²/b² = 1

它可以看成 是 单位圆，

x² + y² = 1

在 方阵，

┌ a 0 ┐ = A

└ 0 b ┘

对应的线性变换下得到的，性质 ② 有，

|A| = 椭圆面积 : 单位圆面积

而，

|A| = ab，单位圆面积 = π

于是得到，

椭圆面积 = abπ

（小石头在几年前的悟空问答中曾经讨论过行列式的本质，首页还可以找到，大家兴趣可以看看！）