微积分笔记——一维空间的遐想

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本篇来探讨一下一维空间，希望能在一维空间上对矢量及其运算进行定义，对梯度散度旋度和三个公式在一维空间推广。内容比较硬核，坐稳扶好。

本篇涉及的内容没有任何物理意义，只是纯粹数学上的天马行空胡思乱想。

本篇的目的是加深对矢量运算、三度、三公式的理解。最终它们的物理意义都是在三维空间体现的！

本篇是餐！后！甜！点！

本文要讨论这么几点：

1. 矢量外积负号的来源。
2. 如何定义一维矢量且能够满足矢量外积。
3. 如何定义二维矢量且能够满足矢量外积。
4. 将梯度散度旋度推广到一维空间。
5. 将Gauss公式和Stokes公式推广到一维空间。

我们来试试看，能不能得到什么有趣的结论。

0 矢量外积的方向性

矢量外积产生一个新的矢量，根据定义，新矢量的方向符合右手定则，即四指从a指向b握拳，大拇指向上，即为新矢量的方向。

这个方向，确切的讲，不是定义的，而是根据外积的运算定义而得到的。是根据坐标的选择而定的，如果你选择的三维坐标是右手系的。那么矢量外积的方向必然符合右手定则。具体参见龚昇的《简明微积分》。

1 外积交换时符号的来源

矢量和微分都有内积和外积

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“外积”交换时产生负号，是源于我们对外积的定义，还是外积的某种必然属性？

首先考察矢量外积。由外积的定义发现，负号来源于矢量的方向性，确切来讲，是方向中的“正反性”。矢量是带有方向的量，这个方向中的“正反性”，体现在外积中就是交换公式中出现的负号。同样，微分外积的交换公式中的负号也是体现方向“正反性”的体现。切线有往前和往后之分，切面有上侧下侧（或者说左右侧、前后侧）之分，还是源于矢量的方向性。

在物理上，这个正反性代表着积可以使某个量增大，或者减小。也即这个结果不是一个单一的数量，其作用效果也不是单方面的，而是有着两种截然相反的效果。

数学上，方向的正反性源于一维坐标的正反性。如果一维坐标里，只有正方向这一个方向，那么最基本的数学运算里只能剩下加法，不会有减法。所以说，一维坐标的“负向”（或者说负数），是引入减法的必然结果。只有扩充了负向（也即负数），实数才能对减法封闭。

2 有趣的减法

顺着这个思路，实数加法也有“内外”之分，可以定义：

其实，这就是减法。可见，对于带有方向的一维坐标来讲，有“内加”和“外加”，而减法，就可以说是“外加”。更进一步说，一物理量只要是矢量，必然有一种运算符合交换后出现负号这个要求，好比顺着不同的“方向”去做同一件事，会得到相反的结果。

3 负数的矢量性和一维矢量

接着上面的讨论，负数是数量还是矢量？从数学的学习来看，负数是一个数量，因为它是实数。但根据上面的讨论，负数似乎带有一定的矢量概念，至少它有矢量的那种正反性。

更深入的问题是二维矢量有没有外积？如果依照外积的定义，二维矢量是没有外积的，因为这样的行列式是不存在的

但从Green公式来看，它是Stokes公式的二维特例，那么Green公式右边出现的必然是二维矢量的旋度。从这点看来二维矢量的外积是存在的。再进一步的问题，一维有没有矢量？如果有，一维矢量的外积是什么？

先看第二个问题，二维矢量的外积。因为这个问题是第一个问题的起源。Stokes公式的二维化：

这提醒我们，二维矢量外积的方法是虚拟一个z轴，并使之恒等于0。

二维矢量外积定义：设有两个二维矢量a和b，令其对应的三维矢量c、d的外积的k分量为两个二维矢量 的外积，即

我们弄的这个定义居然可以依然满足

根据这个定义回头再看Green公式，可见Stokes公式推导出Green公式非常自然。

但随之而来的问题是，二维矢量的外积是矢量还是数量？如果承认了是数量就否认了矢量外积依然是矢量，如果承认了是矢量，那就承认数量也是矢量（即承认xayb-yaxb是一个矢量）。这是“负数是数量还是矢量”这一问题的延续。也就是说，只要定义了二维矢量的外积，就必然要回答负数是数量还是矢量。为了不破坏旋度的完美性，我们决定承认二维矢量的外积是矢量，也即承认xayb-yaxb是一个矢量。为此我们需要定义一维矢量。

一维矢量定义：规定R中的元素是一维矢量，采用矢量形式记为a，大小为其绝对值，方向只取正负两个方向，并规定正方向是沿着x轴变大的方向，反方向是沿x轴变小的方向。

同样借助扩展维度的方法规定一维矢量的外积：

得到一维矢量的外积始终是0，而且依然满足外积的运算法则

神奇！

通过上面的胡思乱想，我们居然得到了一个貌似还可以用用的一维空间！！继续前进！

4 一维空间中的度

顺着上面的定义，将三个度的定义扩充到一维向量空间：

一维矢量空间的梯度和散度是一个意思，都是一元函数的导数，几何上是切线的斜率，这个斜率可正可负。斜率值可以看成传统意义上的数量，此时相当于作散度；也可以继续看成一维矢量，此时相当于作梯度。

可以认为，一维空间中，只有一个度——导数。或者说，一元函数中导数的概念对应了三维空间中向量值函数的三个度的概念。所以，在一元函数微积分中，对一个一元函数的考察除了导数就没有其他的方法了。

居然能到达三度，古德！！古德！！再继续！

5 一维空间中的高斯公式和斯托克斯公式

我们在一维空间有了梯度、散度和旋度，我们用这些概念考察一维空间的Gauss公式和Stokes公式。先看Gauss公式

在一维空间中（编辑太麻烦了！我直接截图放上来）

综合以上3点，我们可以得到一维空间中Gauss公式即牛顿莱布尼兹公式。

再考察Stokes公式：

可见，由于一维空间中三个度的退化，Green公式、Gauss公式、Stokes公式都将退化成牛顿莱布尼兹公式。

6 意义和尾声

本篇也不是全然无意义。通过一维空间的空间的讨论，我们至少可以明白：一元函数微积分中为什么只有导数？因为梯度和散度合二为一，关键是你怎么看待实数。

最后，我们还留了两个有趣的问题。

1. 我们发现，在二维空间里，矢量的外积是做不到的。所以有没有所谓的二维空间？
2. Gauss公式如何二维化。

第1个问题留给大家想象了，脑洞有多大，答案有多大！

第2个问题，也好解决，只是写公式太麻烦了，不写了。