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引言
卷积运算在信号处理中应用非常广泛，因此有必要掌握其基本的性质，在后续学习中将会大量用到。
这里介绍其基本的性质，某些特殊性质，留在以后遇到具体问题了再介绍。
代数性质
交换律
第一个性质是我们非常熟悉的交换律，特别是乘法运算。当然卷积运算也满足交换律，其表达式如下
卷积交换律
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证明如下
卷积交换律证明
分配律
分配律也与代数运算分配律一样，卷积分配律如下
卷积分配律
卷积分配律证明如下
卷积分配律证明
结合上一篇文章线性时不变系统之零状态响应卷积求解（十一）中，实际上，卷积分配律应用到信号系统中，其物理意义可理解为线性时不变系统叠加特性的体现，即假设系统冲激响应为f1,系统对激励f2+f3的响应为激励f2和激励f3各自响应的叠加。当然也可以理解为两个系统并联，其冲激响应分别是f2和f3，在激励f1的作用下的响应叠加。
结合律
卷积结合律表达如下
卷积结合律
卷积结合律证明如下
卷积结合律证明
其中
卷积结合律证明部分表达式
微积分性质
卷积的代数运算性质与一般乘法的代数运算性质一样，但其微积分性质与乘法不一样。
微分特性
两个函数做卷积，然后对其求导，结果等于其中一个函数与另外一个函数导数的卷积，即
卷积的微分特性
证明如下
卷积微分特性证明
同理可得
卷积微分特性
积分特性
两个函数做卷积，然后再积分，其结果等于其中一个函数与另外一个函数的积分的卷积，即
卷积的积分特性
证明如下
卷积积分特性证明
同理可得
卷积积分特性
依此类推，我们不难得出卷积的微积分特性的一般表达式，即假设
假设两个函数的卷积
则有
卷积微积分特性一般表达
与冲激函数的卷积
一般函数与冲激函数的卷积为其本身，这特性在后续系统设计与分析中将经常用到，即
任意函数与冲激函数的卷积
这一性质，在上一篇文章线性时不变系统之零状态响应卷积求解（十一）中，也用到了。这里不再过多介绍。根据冲激函数的特性，这一性质证明也非常简单。
进一步，冲激函数做一定延时后，则有
冲激函数延时后的卷积
进一步，如任意函数做一定延时后，则有
任意函数延时后的卷积
上述延时，在时不变信号系统中，即为其时不变特性的体现。
根据卷积的微积分性质，我们还可以进一步推导出：
任意函数与冲激偶函数的卷积为其导数，任意函数与阶跃函数的卷积为其积分，即
任意函数与冲激偶及阶跃函数的卷积
总结
卷积的交换律、分配律以及结合律与一般乘法的代数特性一样；
卷积的微积分特性满足一般表达式
卷积的微积分特性
；
一般任意函数与冲激函数，冲激偶函数以及阶跃函数的卷积具有特别的应用价值。
以上就是今天分享的内容，希望能够给您带来收获。
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