冲击函数漫谈

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冲击函数的由来：

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冲击函数的定义：

并得到冲击函数和阶跃函数的关系：

冲击函数的抽样性质：

对应冲击函数来说，最重要的就是这个抽样性质，正是通过这个性质，我们才能把一个时域连续的信号转变成时域离散的信号。

再看冲击函数的频域特性：

这表明，当时域是冲击函数时，频域是1。因此：

上图是求逆变换得出的重要公式。

如果假设时域信号是1，则：

由此得到下图：

再考虑冲击抽样函数：

我们看到，周期冲击抽样函数的频谱也是一个冲击序列，这个特点使得被抽样的信号在频域出现了所谓的周期延拓现象：

图1 函数的时域抽样

频域的周期延拓

正是函数的抽样过程，导致了卷积积分的出现。由于

因此也使得我们可以通过这种信号抽样的方法对系统的频域特性进行分析。

这种卷积又可以过渡到离散信号：

图2

注意图1中的函数

它其实表示的是一个时域连续的信号，只是在某些时间点上才有固定值；而图2中的

则是一个离散信号的概念，因为k只能取整数。然后由这个抽样脉冲函数得到：

再考虑冲击响应的问题:

由上图我们看到，当激励信号是一个冲击信号的时候，其响应uc(t)就称为冲击响应。由于图1中表示，任意信号可以通过抽样过程变为一个时域卷积函数：

上图中的f(nT)仅仅代表不同时刻抽样函数的强度不同，因此，当激励信号为任意函数时，都可以看作是不同时刻不同强度的冲击函数激励之和。由此又引出了系统函数或者频率响应函数H(s)和H(jw)的概念：

通过上面分析，几乎可以认为，信号处理的整个理论基础，都是建立在冲击函数的基础之上的，正是冲击函数的抽样能力导致了这种情况的产生。

可以对冲击函数大概总结一下：

1：冲击函数最重要的性质就是抽样性质。

2：由于冲击函数的抽样性质，导致了时域信号离散化方法理论上得以实现。

3：通过冲击函数的抽样，得以对时域连续信号离散化，这个过程导致了卷积概念的产生。

4：由于信号离散化的时域卷积特点，又使得我们可以对系统函数或者频率响应函数进行分析。