分数的裂项

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学习了分数加减乘除之后，考试中常常会出现下面这类题目，这种题目通常以附加题或者选做题出现。这类题不能硬算，那一定有相应的技巧，这种技巧就是我们要说的分数的裂项。

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何为裂项？为什么要裂项？

裂项就是把一个分数拆除两个或多个分数的和或差，目的就是为了抵消。

裂项分类

裂项分为两类，一类是把一个分数拆成两个单位分数的差，简称裂差；一类是把分数拆成两个单位分数的和，简称裂和。

裂项后是什么样子的？

裂项后是两个单位分数的和或差。

比如:

例1、

例2、

像例1、例2这种分母是两数的乘积，分子是分母两个乘数的和或差的裂项，是两类基本的裂项。我们可以用两句话总结：母积子差为裂差，母积子和为裂和。

写成公式为：

分母是两个数乘积的裂项

例3、

看到这种多个分数连加连减的题目，首先想到能否裂项，看每个分数看能否写成分母是两个数的乘积，分子是分母两个乘数的差或和的形式。通过观察尝试发现：分母是可以拆成两个数的乘积：10可以拆成2×5,40可以拆成5×8,88可以拆成8×11,154可以拆成11×14,238可以拆成14×17，拆成这种形式后要裂差，分子必须是分母两个乘数的差。这些差5-2=8-5=11-8=14-11都等于3。这样一来原式中每个分数都会扩大3倍，因此我们得在前面除以3才行。

例4、

例5、计算

分母有点眼熟，是3个数乘积的形式，但是目前我们只学习了分母是2个数乘积的裂项。那我们猜测应该也可以裂成两个分数的差的形式。三个数的裂项公式如下：

有些题目，完全看不出如何裂项？一个常用的技巧就是写出通项公式，研究通项公式如何裂项？

例6、

写出第n项的通项公式，然后对通项公式裂项。

于是：

例7 计算

总结

分数的裂项，如果符合母积子差或母积子和的形式，或者经过变形后符合，可以按照前文的公式进行裂项。但是并非所有的题目都是如此，很多稍难一些的题目都需要写出通项公式，并对其通项公式进行裂项。牢记：裂项的本质是为了把一个分数拆成两个分数，使得前后能抵消。