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柯西不等式:若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数，n为大于1的整数，则a₁+a₂+…+aₙ≥
n ⁿ√（a₁a₂…aₙ），其中当a₁=a₂=…=aₙ时
等号成立.
为证明柯西不等式，首先介绍下列两个引理:
引理1 若a、b为非负数，则a+b≥
2√（ab），其中当a=b时等号成立.
引理2 若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数，
且n=2ˣ，x为正整数，则
a₁+a₂+…+aₙ≥n ⁿ√（a₁a₂…aₙ），其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
引理的说明:引理1显然成立（证明从略），逐施引理1即可得到引理2（证明从略）.
其次证明柯西不等式:
（1）当n=2ˣ，x为正整数时，由引理2可直接得到所证结论成立.
（2）当n=2ˣ-y，即n+y=2ˣ，1≤y≤2ˣ-3，
x、y为正整数，且x>1时，设
aₙ₊₁=aₙ₊₂=…=aₙ₊ᵧ=ⁿ√（a₁a₂…aₙ），
则由引理2可得
a₁+a₂+…+aₙ+aₙ₊₁+aₙ₊₂+…+aₙ₊ᵧ≥
（n+y）ⁿ⁺ʸ√［（a₁a₂…aₙ）ⁿ√（a₁a₂…aₙ）ⁿ√（a₁a₂…aₙ）…ⁿ√（a₁a₂…aₙ）］=
（n+y）ⁿ⁺ʸ√［（a₁a₂…aₙ）⁽ⁿ⁺ʸ ⁾/ⁿ］=
（n+y）ⁿ√（a₁a₂…aₙ），
其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
即a₁+a₂+…+aₙ+ⁿ√（a₁a₂…aₙ）+
ⁿ√（a₁a₂…aₙ）+…+ⁿ√（a₁a₂…aₙ）≥
（n+y）ⁿ√（a₁a₂…aₙ），
故a₁+a₂+…+aₙ≥nⁿ√（a₁a₂…aₙ）.
其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
从而柯西不等式明所欲证！
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